JMO2020 予選第四問

 第四問は整数問題からの出題です。例年は4問目あたりから難易度がぐっと上がる印象のあるJMOの予選問題ですが、本問は発想力、計算量共に控えめです。

(解答例)
 nを1桁の正整数とするとn^2は1桁あるいは2桁の整数、n^3は1桁、2桁または3桁の整数であるため、n^2とn^3の桁数の和は8より小さくなる。
 また、nを3桁以上の正整数とすると n≧10^2であることから、n^2は5桁以上、n^3は7桁以上の数となりn^2とn^3の桁数の和は8より大きくなる。
 nが2桁の正整数の場合、n^2の桁数は3桁または4桁、n^3の桁数は4桁、5桁または6桁となる為、n^2とn^3の桁数の和が8となる為には「n^2が3桁かつn^3が5桁」或いは「n^2とn^3が共に4桁」の2つの可能性がある。しかしnが2桁の正整数であることから、n^3 = n*n^2 > 10*n^2が成り立つためn^2とn^3の桁数が一致することはなく後者の可能性は除外され、結局n, n^2, n^3はそれぞれ2桁、3桁、5桁の正整数となる。
 今、n^2は3桁の正整数で百の位は9とならない為 100≦n^2<900 ⇔ 10≦n<30が成立する。また、n^3は5桁の正整数であること及び21^3 = 9126, 22^3 = 10648から、n≧22であり(30^3 = 27000より上限についての議論は不要)、nとしてありうる値は22から29までのいずれかの正整数である(但し先の計算結果22^3 = 10648から22は条件を満たさない)。
 また、23^2, 27^2, 29^3の1の位は9であり、n = 25及び26についてはn^2とn^3の1の位が同一なので、n = 23, 25, 26, 27, 29は除外される。結局残る数はn = 24または28であるが、24^2 = 576, 24^3 = 13824, 28^2 = 784, 21952から条件を満たす正整数nは24のみである。 A. 24

 一つ目の条件は「n^2とn^3の桁数の和が8」ですが、この点についてはn, n^2, n^3の桁の上がり方をイメージすればnは2桁、n^2は3桁、n^5は5桁の数になるだろうと予想できます。論述問題であればこの部分の証明にもそれなりに気を遣うことになりますが、答えのみを出せばよいJMO予選ではいくつかの値で検算すれば十分です。
 桁数が分かった後はn^2が3桁でn^5が5桁となるような2桁の自然数nを不等式によって絞り込み、それぞれのnが後半の「n^2とn^3の各桁併せて1以上8以下の整数がちょうど1個ずつ現れる」という条件を満たすかどうかを確認します。
 今回の解答例ではn^2及びn^3の1の位や100の位に着目する事で最後の確認作業の手間を極力減らしていますが、それ以前の不等式の段階でnは10個程度まで絞り込めている為試験場では力押しの方が早い気がします。

 桁数に関する考察や、その後のnの絞り込みについてもそれほど高度な発想は要求されておらず、最後の条件から計算ミスにも気が付きやすくなっています。第4問以降では最も簡単と思われ、予選突破を目指す上では落とせません。

投稿者: matsubushi

趣味で数学など

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