解けない定積分と不等式 (1991年 京大後期 理系)

 今回は京大からの出題で、大学入試の定番とも言える「解けない定積分」に関する不等式をテーマとした問題です(問題はhttp://server-test.net/math/kyoto/より引用させて頂きました)。

(1)は両辺の差をf(x)と置きその増減を調べるという定石で解決しますが、問題は(2)です。左辺の定積分は具体的に計算することは出来ない為(解析的に解けない)、別の計算可能な定積分を利用してその値を評価する事になります。

(解答)

 安直かと思いましたが(2)の結論を見据えてxをsinπxに置き換え、a=2/πを代入して定積分を行った所あっさりと証明が完成ました(計算量もかなり抑え気味です)。例年の京大であれば、同じタイプの問題であっても代入する値にもう少し捻りが要求される気がするので、本問の正答率はかなり高かったのでは無いかと思います。

 ちなみに(1)の右辺はy = e^xのx=aにおける接線の方程式そのものなので図形的解釈による証明も可能です。

 今回は答案作成にLaTeXを使用してみましたが、何しろ大学時代の情報の授業以来だったのでこの程度の長さの答案でも悪戦苦闘しました。

投稿者: matsubushi

趣味で数学など

解けない定積分と不等式 (1991年 京大後期 理系)」に2件のコメントがあります

  1. なるほど、設問の意味でつまづきます(;”∀”)
    数学は短い問題から論理的想像を広げる能力が必要ですよね

    それを魔法のように解説するまつぶしさんの圧倒的パゥワァ

    いいね: 1人

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