相方を有効活用 (2020年 京大理系 第2問)

 昨日、今日と国公立の二次試験が開催され、東大及び京大あたりでは既に初日の問題が公開されています。その流れに乗って今回は、昨日の京大で出題された極限の問題にスポットを当ててみたいと思います。

 (1)は超頻出ともいえる、二次方程式の二解のn乗和に関する証明ですが、問題となるのは(2)です。

 |α|>1であるのでsin(αnπ)はsin(∞)型の不定形となってしまい、sinは周期関数なのでその極限値が定まりません。一方で「相方」であるもう一つの解βは、lim(n→∞) βn = 0が成り立つので、αより扱いが簡単そうに思われます。

 このような考えから、αを消去してβの式にすれば上手くいくのではないか…、と思いつけばしめたもの、(1)の誘導の意味(なぜ偶数であるかを証明させたのか)についても分かってきます(今回の解答は時間の都合で手書きです)。

 

 (1)の式③の変形は超頻出ですので、暗記してしまっても良いでしょう。今回はちょっと記述をサボりましたが、万全を期すのであればしっかり数学的帰納法を展開させます。いずれにせよ、ここまでは短時間で完答したい問題です。

 (1)の結果からαnn=2Nと置いて、sinの括弧内のαnを消去すると、sinの周期性によってNが消去され見通しが一気に良くなります。(1)で整数であることしか示さなかった場合、sin(αnπ)=(-1)N・sin(-βnπ)となりNが消えないので、αnnが「偶数」である事は、ここで大きな意味を持ってきます。

 同様に(-α)nも解と係数の関係から1/βnというマイナスを含まない綺麗な形に変形され、ここまで来てしまえば後は教科書レベルである(sinx/x)型の極限計算です。

 本問は方針が立たないとお手上げだけど、気づいてしまえば短時間で解答できるという、実に京大らしい問題です。ただ、仮に(2)の方針が思いつかない場合も、(1)だけは早い段階で完答して部分点を稼ぐべきでしょう。

投稿者: matsubushi

趣味で数学など

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