10の倍数となる条件 (1996年 京大後期 数学)

 最近は今年の入試問題ばかりが続いていたので、今回は少し昔の京大入試から整数問題を取り上げます。本大学らしく問題文は非常にシンプルです。

 (m, n)の組み合わせを1つ見つければよいので、適当な値を代入していけば解決するようにも思えますが、mn+1 及びnm+1はmやnが少し大きくなっただけで爆発的に増加する為、これはあまり得策とは言えません。

 そこで「ある整数が10の倍数であれば1の位は0である」という当たり前の事実に立ち返って、mn 及びnm の1の位に着目してみます。

解答

コメント

 条件からmn 及びnm の1の位が9であることはすぐに分かり、m, nの1の位が偶数或いは1、5の時はそもそも1の位は9となり得ない為除外されます。

 あとは残る3, 7, 9に対して1の位の周期性を利用することで、本問は殆ど計算を行う事無く解決します。方針が立ってしまえば、非常にスッキリ解決する京大らしい出題と言えます。

 なお、解はm及びnの1の位が9であれば何でも良いので (m, n) = (122919, 9938819) のような極端な解も可能です。但し調子に乗ってm < nを忘れないように。

投稿者: matsubushi

趣味で数学など

10の倍数となる条件 (1996年 京大後期 数学)」に2件のコメントがあります

  1. 周期性かぁ、いつも忘れてしまいますがこんなに有能さんなんですね…

    やはり数学に無駄な物などないんだなぁと改めて実感致しました( ˘ω˘ )

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