解けない漸化式と極限 (1988年 東工大)

 最近は整数問題が続いたので、今回は数列及び極限分野からの出題です。漸化式の見た目からして、普通に解いても一般項が求まらない事は何となく予感させられます。

 そのような場合の次の一手として、漸化式に従ってn=1から順番に計算を行い一般項を予測することになりますが、値が複雑になるばかりで一向に規則性が見えず、この数列の一般項を求める方針は手詰まりとなります。

 ところで、本問で問われているのは数列anの一般項ではなく、n→∞の時の極限値です。そのように割り切って漸化式を再び眺めてみると…

(解答)

コメント  

1≦an≦ N (N: 特定の定数) であることが分かれば、漸化式の形からはさみうちの原理によって極限値は1であると求まります。an = 1+(正の数) なので1以上である事は明らかですが、問題はNをどのように設定するかです。

 そこで、一般項を予測する際に求めたa2 ~ a4 あたりを見てみるといずれも2よりは小さそうなのでN = 2として不等式を立て、後は数学的帰納法を利用しました。

 Nの値ははさみうちの原理に持ち込めれば何でも良いため厳密な設定は不要であり、例えばN = 100や1000と置いても全く問題はありません。

 本問は誘導が一切無く、自力で不等式を設定してはさみうちの原理に持ち込まなければならない為、実力差がはっきり出た問題ではないかと思われます。

投稿者: matsubushi

趣味で数学など

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