「角度が等差数列、正弦が等比数列の場合は存在するか?」というシンプルながら、結論が気になる問題です。等差数列、及び等比数列に関する条件からα, β, γ 及び sinα, sinβ, sinγ 間の関係式を導くことが最初の一手となります。
(解答)
京大数学としては控えめな難易度であり、三角関数の式変形の練習題としてはうってつけです。角度及び正弦(sin)に対する等差・等比数列の条件からβを消去した後は、半角の定理及び加法定理を用いることでαとγの関係式が得られます。
なお、加法定理を利用した箇所の式変形は2sinαsinγに対して積和の公式を利用する事でも同様の結論を得ることが出来ます。
結局角度が等差数列かつ正弦が等比数列となるケースは180°ずつの回転(公比は-1)か360°の回転(公比は1)の場合のみしか存在せず、言われてみれば当たり前な結論です。
備考
ちなみに、本題は余弦についてもまったく同様の結論が得られます。