リーグ戦順位の妙 (1975年 京大 文理共通)

 
 本問はリーグ戦(総当たり戦)の順位にまつわる一見不思議な事象を証明させる問題です。計算は殆ど必要とせず、純粋な論証力のみが問われる京大らしい一問です。

解答

前半: 順位と勝利数に関する条件


 上述の通り、同着のチームが存在しない場合各チームの勝ち数はただ一通りに定まります。この点が本問を解くにあたって最初かつ最大のポイントです。

後半: 命題の証明


 各チームの勝ち数が分かった後は、目標である命題の証明を行います。

 1位のチームは全勝なので、下位チームには必ず勝ちます。そして2位のチームは1位のチームに負けますが、1敗しかしない為3位以下のチームには全て勝ちます。更に3位のチームは1位と2位には負けますが、2敗しかしないため4位以下のチームには全て勝ちます。

 以下同様に上位から順番に勝ち負けを吟味すれば命題は示されますが、この「以下同様」の部分をより厳密に論証する為、数学的帰納法を用いた上記のような解法を採用しています。

コメント

 各チームの勝利数に関する条件に気が付いてしまえば、その後の方針は立て易いと思われます。しかし本問は受験生の純粋な論証力を測る問題であるため、余り直感的な解答を作成すると思わぬ減点を受ける可能があります。

投稿者: matsubushi

趣味で数学など

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