必要条件から絞り込む① (2019年 一橋大学)

　与えられた数列a_nはいわゆる3項間漸化式によって定義されますが、余分な定数がくっついている為に一般項をnの式で表すのは非常に困難であり、本問では漸化式をそのまま利用する事になります。

　最初の一手は背理法です。すなわち、全てのnについてa_nが平方数であると仮定して、矛盾を見つけます。

　しかしながら一般項を直接求めることは実質的に不可能な為、全てのnについてa_nが平方数であるか否かを吟味する事は現実的ではありません。

解答

　すべてのnについてa_nが平方数である為には、a₁、a₂、a₃といった比較的簡単な値について平方数となることが必要であり、このことが今回の問題を解く上での最大のポイントとなります。

　今回のケースではa₁及びa₂については元々平方数として与えられている為、次のa₃が平方数となる条件を考えると整数問題へと帰着されて、最終的にp = 2が条件として得られます。そして、この場合a₅が平方数となりません。

　結局いかなるp についてもa₃或いはa₅が平方数とならないため、命題は証明されたことになります。

コメント

　このように必要条件を考えることで、一般のnに関する事柄を証明するタイプの問題は大学入試問題では頻出です。

　本問はこのタイプの問題としては難易度は控えめですが、必要条件による絞り込みという考え方を理解する演習問題としては最適です。