二次導関数と面積 (1973年 名古屋大 理系)

 
 関数f(x)の具体的な形は与えられていませんが、a≦x≦bにおいてf”(x)>0であるので関数はこの区間では常に下に凸です。これにより曲線と接点の位置関係が分かります。

解答


 接点のx座標をpとすると、その面積S(p)は定積分を含むpの関数として与えられます。この際、a及びbは単なる定数であることに注意しながら微分をすると上手くf'(p)の箇所が消えます。

 結局f(x)の形によらず接点のx座標を定義域の両端の平均値に定めると面積は最小であるという、「それっぽい」答えにたどり着きます。

コメント

 関数が具体的でない分、微積分に対する本質的な理解力が試されます。一方で具体的な微積分が殆ど要求されないことから計算量は控えめであり、結果も非常にリーズナブルなので、出来た人とそうでない人で点差がつきやすい問題だったかもしれません。

投稿者: matsubushi

趣味で数学など

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