素数づくしの整数問題 (2016年 京都大学 文理共通)


 問題文はわずか1行、登場人物は全て素数という強烈なインパクトを与える内容で、京大の整数問題の中でもかなり有名と思われます。

 素数は無数に存在するので雲をつかむような問題にも思えますが、最初の一歩は「偶素数は2のみ」という自明な事実です。

解答


 素数のうち偶数であるのは2のみであり、残り全ての素数は奇数となります。しかしながら、pとqの奇遇が等しい場合pq+qpは偶数となってしまい素数となりません。よってp, qの奇遇は異なり、一方p, qのうち一方は2であることが分かります。

 p=2とした後、唐突にqを3で割った余りについて分類していますが、実はq = 3, 5, 7, 11あたりを試しに代入しています。q = 3のときはpq+qpは素数となりますが、それ以外の場合はいずれも3を素因数に持つため、素数とはなりません。

 このことから「qが3の倍数でない時(q ≠ 3)、pq+qpは3の倍数」ということが予想され、これを実際に証明したものが上記の解答となります。

コメント

 問題文こそシンプルですが、素数の性質や整数の剰余についての知識をフル活用する必要があります。加えて実際に小さな素数で「実験」を行い仮説を自分で立ててそれを証明することも要求され、見た目ほど容易な問題とは言えません。とりあえずp, qの一方が2であることを示して部分点を確保しておきたい所です。

投稿者: matsubushi

趣味で数学など

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