ダイヤル数の不思議 (1961年 大阪大学 文理共通)


 今回は約60年前の大阪大学から、ある6桁の整数に関する整数問題です。与えられた問題文を等式でどのように表現するかが鍵となります。

(解答)


 求める自然数の各桁全てを文字で別箇に表現する必要はなく、最高位の数字とそれ以外の下五桁に分割して考えることが本問最大のポイントです。これにより最高位の数字と下5桁の間の関係式が導かれ、結果として求めるべき自然数が与えられます。

 受験戦争が激化する前の時代の入試とあって、最近の阪大や他の旧帝大の入試に比べると難易度は控えめです。

ダイヤル数(巡回数)について

 142857という数字について、勘の良い人であれば1/7 = 0.142857142857….における6桁の循環節に相当することに気付くかもしれません。この「142857」はダイヤル数または巡回数と呼ばれる数の一つで、「142857」の1倍から6倍までは、その各桁がその順番を崩すことなく「巡回」します。

 今回の問題は「142857」の最高位を1の位に「巡回」させた「428571」と、「285714」の最高位を1の位に「巡回」させた「857142」がそれぞれ3倍の関係にあるという事実に基づいて出題されています。

巡回数「142857」の不思議な性質

  
 「142857」は最小の巡回数であり、これより大きな巡回数もまた、素数の逆数を循環整数表示したときの循環節として登場することが知られています(但し1/3や1/5のように全ての素数について巡回数が得られるわけではありません)。

 この方法で求められる2番目に小さな巡回数は588235294117647で、これは1/17を循環小数表示した際の16桁の循環節に相当します。

投稿者: matsubushi

趣味で数学など

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