2020年3月 – 数学日和

AO入試の味わい (2009年東工大第一類特別入試)

　かつて東工大の第一類では後期入試を廃止する代わりに、「試験科目は数学のみ」という非常にユニークなAO入試を行っていました。「入試時期が一般入試より早い」、「仮にAO入試に合格した場合でも、後の一般入試で東大など他大学の続きを読む “AO入試の味わい (2009年東工大第一類特別入試)”

　今回は約60年前の大阪大学から、ある6桁の整数に関する整数問題です。与えられた問題文を等式でどのように表現するかが鍵となります。 (解答) 　求める自然数の各桁全てを文字で別箇に表現する必要はなく、最高位の数字とそれ以続きを読む “ダイヤル数の不思議 (1961年大阪大学文理共通)”

　問題文はわずか1行、登場人物は全て素数という強烈なインパクトを与える内容で、京大の整数問題の中でもかなり有名と思われます。　素数は無数に存在するので雲をつかむような問題にも思えますが、最初の一歩は「偶素数は2のみ」と続きを読む “素数づくしの整数問題 (2016年京都大学文理共通)”

　　関数f(x)の具体的な形は与えられていませんが、a≦x≦bにおいてf”(x)>0であるので関数はこの区間では常に下に凸です。これにより曲線と接点の位置関係が分かります。解答　接点のx座標をpとす続きを読む “二次導関数と面積 (1973年名古屋大理系)”

　前回及び前々回と同様に、本問も「必要条件から絞り込む」ことで十分条件を求めるタイプの問題です。　しかしながら必要条件を探る為には6つの文字を含む複雑な等式を捌く必要があり、しかも任意に動く自然数がm, nの2種類存在続きを読む “必要条件から絞り込む③ (1990年東工大)”

　与えられた数列anはいわゆる3項間漸化式によって定義されますが、余分な定数がくっついている為に一般項をnの式で表すのは非常に困難であり、本問では漸化式をそのまま利用する事になります。　最初の一手は背理法です。すなわち続きを読む “必要条件から絞り込む① (2019年一橋大学)”

　　本問はリーグ戦(総当たり戦)の順位にまつわる一見不思議な事象を証明させる問題です。計算は殆ど必要とせず、純粋な論証力のみが問われる京大らしい一問です。解答前半: 順位と勝利数に関する条件　上述の通り、同着のチー続きを読む “リーグ戦順位の妙 (1975年京大文理共通)”

　今回は2006年のジュニア算数五輪ファイナルからの紹介で、平方数に関連した整数問題となっています。　「算数」という言葉からも推測できるように本大会は小学5年生以下を対象としていますが、その問題は大学入試に登場しても遜続きを読む “小学生でも解ける…? (2006年 Jr. 算数五輪ファイナル)”

　　今回は1989年の東工大入試から関数方程式をピックアップします。上記のようなタイプの問題は出題頻度こそ高くありませんが、いざ出題された場合に類題経験の有無が非常に大きな差となります。　本問のようなタイプの問題では「続きを読む “微分の定義と関数方程式 (1989年東工大)”