京都大学の本気 (2020年 京大理系 第4問)

 今回は今年の京大入試から、毎年恒例の整数問題を取り上げます。  ここ10年ほどの京大の整数問題といえば、問題文が非常に短いうえに計算量も少ない為(ある程度の発想力は要求されます)、得意な人にとってはいわゆる「得点の稼ぎ続きを読む “京都大学の本気 (2020年 京大理系 第4問)”

2^nの最高位が7となる条件 (2001年 京大 理系後期)

  本問は2の累乗の最高位を題材とした、対数分野からの出題です。  ある正の整数の常用対数(10を底とする対数)を取ったとき、その値は整数部分と小数部分に分かれます。  この際整数部分は元の整数の桁数を求める為に利用され続きを読む “2^nの最高位が7となる条件 (2001年 京大 理系後期)”

まさにコロンブスの卵 (2004年 JMO予選 第10問)

 今回は16年前のJMO予選からピックアップです。ある法則に従って2次以下の多項式を次々と変換してゆく問題ですが、全12問の第10問目ということもあり難易度は非常に高く、真正面から立ち向かうと収拾がつかなくなってしまいま続きを読む “まさにコロンブスの卵 (2004年 JMO予選 第10問)”

メタセシス反応による化合物の変換 (2018年 和歌山県立医大 化学)

 医学部や旧帝大など難関大の有機化学では、高校の範囲外の反応を問題文中で取り上げて利用させるタイプの問題が良く出題されます。  2018年に和歌山県立医大で出題された本題もそうしたコンセプトの問題の一つであり、メタセシス続きを読む “メタセシス反応による化合物の変換 (2018年 和歌山県立医大 化学)”

正方形が格子点を必ず含む条件 (1971年 京大 理系)

 xy平面、或いはxyz空間において各座標が全て整数であるような点は格子点と呼ばれ、大学入試においては様々な切り口で登場します。  本題のテーマは「どの程度の長さがあれば正方形は必ず格子点を含むか?」です。(1)では正方続きを読む “正方形が格子点を必ず含む条件 (1971年 京大 理系)”

三角比と等比・等差数列の融合問題 (1975年 京大 文理共通)

  「角度が等差数列、正弦が等比数列の場合は存在するか?」というシンプルながら、結論が気になる問題です。等差数列、及び等比数列に関する条件からα, β, γ 及び sinα, sinβ, sinγ 間の関係式を導くことが続きを読む “三角比と等比・等差数列の融合問題 (1975年 京大 文理共通)”

無理数の無理数乗 = 有理数となる場合 (2020年 横浜市立大/1986年 阪大)

  本題は「x, yが共に無理数として、xyが有理数となる場合は存在するか?」という実に興味深い話題を扱っています。(1)(2)は基礎レベルの問題ですが、(3)は難問です。  (1)で「√2の√2乗」の√2乗が有理数(整続きを読む “無理数の無理数乗 = 有理数となる場合 (2020年 横浜市立大/1986年 阪大)”

新元素ラジウム発見の歴史 (1995年 東大 化学第2問)

 キュリー夫人ことマリ・キュリーは女性初のノーベル賞受賞者、そして歴代に4人しかいない複数回のノーベル賞受賞者(日本赤十字社などの平和賞受賞団体は除く)であり、その名を知らない人はいないと思われます。  そんなマリ・キュ続きを読む “新元素ラジウム発見の歴史 (1995年 東大 化学第2問)”

素数は続くよどこまでも…? (2020年 東工大 数学 第一問)

 去年は前期史上最高クラスの難問と評された第4問を筆頭に高難易度の問題が揃い、受験生泣かせであった東工大の数学でしたが、今年は例年通りの落ち着きを取り戻したようです。  そんな今年の東工大入試の第一問は、整数問題からの出続きを読む “素数は続くよどこまでも…? (2020年 東工大 数学 第一問)”

素数と二次方程式の奇妙な関係 (1977年 名古屋大 理系)

 タイトルそのままな問題です。二次方程式が素数解を持つ条件というテーマは時々見かける気がしますが、3桁の素数の各位を二次方程式の係数に対応付けるという出題は斬新です。  まさか、3桁の素数すべてについて検証する訳にもいか続きを読む “素数と二次方程式の奇妙な関係 (1977年 名古屋大 理系)”