あやふや虫食い算 (2015年 JJMO予選 第3問)


 JJMO(日本ジュニア数学オリンピック)はJMO(日本数学オリンピック)と同様に、IMO(国際数学オリンピック)の代表選考を兼ねて2003年より開催されている大会ですが、対象者が中学生以下である点がJMOと大きく異なります。

 そのためJMOと比べるとJJMOの問題の難易度は総じて低めに設定されてはいますが、後半になるにつれて難易度は上昇し、最終的にはJMOと比べても遜色無い難易度となります。

 そんなJJMOより今回はユニークな虫食い算に関する問題を取り上げます。わかっていない数が四角で表現されている点は通常の虫食い算ですが、それに加えて本問では既に書き加えられている数についてもそれぞれ2通りの解釈があり得るというオマケ付きになっています。

解答


以下の順にて空欄及び未確定の数字を決定してゆく。

① Aの位置の数字は4か9のいずれかであるが、9であると仮定すると必ず百の位で繰り上がりが発生し(問題文より筆算における格段の最上位に0は入らない為)、計算結果である最下段が4桁となってしまい矛盾。よってAの位置の数字は4である。

②次にBの位置の数字は1か7のいずれかであるが、7としてしまうと下から2番目の段(上図の(イ))が二桁で十の位が4である事実に矛盾。よってBの位置の数字は1である。

③次にCの位置の数字は4か9であるが、4と仮定すると最上段の空欄(1の位)にどのような数字を入れても真ん中の段(上図の(ア))が3桁となる事はなく矛盾。よってCの位置の数字は9である。

④真ん中の段(上図の(ア))の十の位の数字は0または6であり、これを満たすような空欄Dの数字は2または8である。今、8を代入すると真ん中の段は162となり条件を満たすが、この時空欄Eに何を入れても下から二番目の段(上図の(イ))の十の位は4とならない。よって空欄Dには2が入り、結果真ん中の段は108となる。

⑤最後に下から二番目の段(上図の(イ))の十の位が4となる事から空欄Eに4が入り、計算結果である最下段の数は588で決定され、これが求める解である。

コメント

 徹頭徹尾パズル的な問題で、第3問目ということもあり難易度はそれほど高くもありません。中学受験ではたびたび登場する虫食い算ですが、大学入試で見かけることはなく懐かしさを覚えたので取り上げた次第です。

投稿者: matsubushi

趣味で数学など

コメントを残す

以下に詳細を記入するか、アイコンをクリックしてログインしてください。

WordPress.com ロゴ

WordPress.com アカウントを使ってコメントしています。 ログアウト /  変更 )

Google フォト

Google アカウントを使ってコメントしています。 ログアウト /  変更 )

Twitter 画像

Twitter アカウントを使ってコメントしています。 ログアウト /  変更 )

Facebook の写真

Facebook アカウントを使ってコメントしています。 ログアウト /  変更 )

%s と連携中

%d人のブロガーが「いいね」をつけました。