巨大な数の下3桁を考える (2009年 JJMO予選 第8問)

　以前にも紹介した通り(https://atomic-temporary-171365026.wpcomstaging.com/2020/04/02/あやふや虫食い算-2015年-jjmo予選-第3問/)、JJMOは中学生以下を対象とした大会ですが後半の問題ともなるとその難易度はJMOに匹敵します。

　今回紹介するのは2009年の第8問目に出題された問題であり、問われている内容自体は小学生でも理解できる非常なシンプルなものです。

解答

　与えられた数Nは奇数かつ125の倍数である為、大掛かりな計算を行わずともその下3桁の候補が125, 375, 625, 875のどれかであるかまでは比較的容易に絞り込めます(よって、ここまで出来た受験生のうち25%はヤマ勘で正答にたどりつけます)。

　しかしながら「次の一手」については極めて高い発想力が要求されます。今回は「4連続奇数を8で割った余りは1」という性質に着目して、Nを8で割った余りが3であることを示し、下3桁が875しかあり得ないことを導きましたが、この解答に至るまでにかなりの試行錯誤を要しています。

　見た目のシンプルさに対する内容のハードさはとても中学生向けの問題とは思えませんが、内容自体は極めて面白く味わい深い一問です。