悪魔と天使と3人の女神 (2004年 慶大・総合政策)

 関東私大の雄である慶応義塾大には非常に多くの学部・学科が存在していますが、中でも湘南藤沢キャンパス(通称: 慶応SFC)に設置された総合政策学部の数学は、他大学と比べて強い個性を持ちます。

 いわゆる「嘘つき問題」に属する本題は、書籍やクイズ番組などで見かけることはあっても大学入試ではなかなかお目にかかることはありません。なお、(1)と(2)は独立した問題となっています。

(1)の解答

① Aが天使であると仮定した場合
→ 天使であるAは必ず真実を言う為、Aの言葉に従ってBも天使である。

② Aが悪魔であると仮定した場合
→ Aの発言において「私が天使ならば~」という前提が誤っている為、Aの発言は嘘とも真実とも判断できない。従って悪魔が「必ず」嘘をつくという条件に矛盾する為、Aは悪魔とはなり得ない。

以上よりAもBも天使であり、答えは「1.」である。

(2)の解答

① アテナが最も美しいと仮定した場合
→ 3人の発言から以下の情報が得られる

アテナ「最も美しいのはアフロディテではない」
アフロディテ「最も美しいのはヘラだ」
ヘラ「最も美しいのは私ではない」

この時アフロディテとヘラの発言に矛盾が生じる為、アテナは最も美しいという仮定は誤りである。

②アフロディテが最も美しいと仮定した場合
→3人の発言から以下の情報が得られる

アテナ「最も美しいのはアフロディテである」
アフロディテ「最も美しいのはヘラではない」
ヘラ「最も美しいのは私ではない」

この時3人の発言に矛盾はない

③ヘラが最も美しいと仮定した場合
→3人の発言から以下の情報が得られる

アテナ「最も美しいのはアフロディテである」
アフロディテ「最も美しいのはヘラである」
ヘラ「わたしが最も美しい」

3人の発言からヘラとアフロディテが最も美しい女神という事になるが、これは最も美しい女神はただ一人であるという仮定に反する為、ヘラが最も美しいという仮定はあやまりである。

以上より、アフロディテが最も美しい女神であるので答えは「2.」

コメント

 (1)はBに関する情報がAの発言以外に存在しない為、Aが悪魔の場合と天使の場合を仮定して矛盾が無いかどうかを調べます。Aが天使の場合は特に問題はないのですが、悪魔の場合は発言中の仮定自体が偽であるため、長考に陥った受験生も少なからずいたのではないかと思います。

 とはいえ解答欄の形式から答えは1つなので、とりあえず「A、B共に天使」の場合は間違いなさそうであると考えても答えにたどり着けます。

 実は数学での論理規約では「命題における仮定が偽であるならば、結論の真偽によあず命題は常に真」であることが知られている為(詳細は割愛します)、これを利用すればAが悪魔と仮定したとき、悪魔は常に真実(真である命題)を述べている事になるので直ちに矛盾を導くことが出来ます。

 (2)は発言者が多く考えるべき仮定も(1)より多いですが、反面矛盾は導きやすいため(1)よりは簡単だったと思われます。

投稿者: matsubushi

趣味で数学など

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