模範解答は教科書に (2019年 福島県立医科大)

 いずれも三角比に関する超有名公式に関する証明問題であり、その詳細は数IIIの教科書にも載っています。

解答

(1)の証明


 親切にも問題文にヒントとなる図が与えられており、教科書通りに証明するのであれば△OAC、扇形OAC、△OABにおける面積の大小関係を利用してはさみうちの原理に持ち込みます。

 但し図形を利用した議論は「x > 0」を前提としている為、この時点では右側極限しか証明できておらず、左側極限を示すためには文字の置き換えを利用して右側極限の式に帰着させる必要が有ります。

(2)の証明


 問題文にもある通り導関数の定義に従って極限値を求めますが、その際前問で証明した極限の式を利用する事になります。結論が明らかである分、途中式はなるべく丁寧に記述すべきです。

コメント

 1999年に東大で出題された加法定理の証明や、2009年に順天堂大で出題された対数における底の変換公式の証明など、大学入試では時々教科書レベルの公式を証明させる問題が登場します。

 本問もそうした流れを汲む問題の1つと言えますが、(1)ではヒントとなる図が与えられている為に方針が立てやすく、(2)は導関数の定義さえ覚えていれば試験場で十分に対応できるレベルの極限計算問題です。

 本大学の受験層を考えるとあまり時間をかけずに完答したいところですが、本問の性質上出来るだけな丁寧な記述を心掛けるべきでしょう。

投稿者: matsubushi

趣味で数学など

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