近似解から真の解を決定する (1982年 東大 文科)


 一般的に方程式の近似解から真の解を求めることは不可能ですが、今回は与えられた方程式が複二次式かつ整数係数であることが大きなポイントとなります。

解答

解説

 与えられた四次方程式の左辺が複二次式の形であることから、その解を± α、± βの形で表現する事が最初のポイントです。このことと近似値の誤差に関する条件からα及びβの取り得る範囲を絞り込むことが出来ます。

 続いて因数分解(または解と係数の関係)を利用して、四次方程式の係数をα及びβで表現します。これにより方程式の係数a及びbの範囲を絞り込み、aとbが整数値である事からその値を決定する事が出来ます。この部分の絞り込みの程度は受験生に委ねられていますが、今回は一番計算が楽になるような組み合わせを採用しています。

 a, bが決まった後は複二次式型の四次方程式を解くだけなのですが、二重根号が外せることに気が付かないと泥沼の危険性があります。後は√2 = 1.4142..を利用して(厳密には不等式で評価した方が良いと思います)、真の解を小数第2位まで評価します。「正しく求めよ」の意味が小数第3位を切り捨てるのか、或いは四捨五入するのかが不明瞭でしたので、今回は切り捨てのパターンを解として採用しました。

コメント

 一見難題に見えますが、与えられた方程式が複二次式型である事に気が付けばあとは丁寧に数値評価を繰り返すだけの問題です。とはいえ数値評価にはそれなりの計算量が要求され、二重根号の処理など所々に難所はありますので入試問題としては十分に機能していると思われます。

投稿者: matsubushi

趣味で数学など

近似解から真の解を決定する (1982年 東大 文科)」に2件のコメントがあります

コメントを残す

以下に詳細を記入するか、アイコンをクリックしてログインしてください。

WordPress.com ロゴ

WordPress.com アカウントを使ってコメントしています。 ログアウト /  変更 )

Google フォト

Google アカウントを使ってコメントしています。 ログアウト /  変更 )

Twitter 画像

Twitter アカウントを使ってコメントしています。 ログアウト /  変更 )

Facebook の写真

Facebook アカウントを使ってコメントしています。 ログアウト /  変更 )

%s と連携中

%d人のブロガーが「いいね」をつけました。