シンプルゆえの難しさ (2013年 千葉大学)

 正接にまつわる興味深い等式に関する証明問題です。誘導やヒントが一切存在しない為、証明方針を全て自力で立てる必要があります。

 tan30°は別として、tan10°、tan20°、tan40°の値を個別に考えることは非現実的であり、適切な式変形を行う必要があります。

 正弦や余弦の場合は和積公式や積和の公式など強力なツールがありますが、正接では対応する公式が無いため、基本的に加法定理(及び倍角、三倍角)を利用するしかない事にはすぐに思い至るでしょう。

解答

コメント

 「θ = 10°」と置くことで、「tan3θ = tan30° = 1/√3」「20° = 30°- θ 」「40° = 30° + θ」といった具合に正接の値が分かっている30°を最大限に利用する事が出来ます。

 最終的には上記のようなスッキリとした解答に仕上がっていますが、そこに至るまでには色々な試行錯誤が必要であり、一筋縄ではいかなかったと思われます。

 なお正接の三倍角の公式は余弦や正弦と比べて一般的ではないので、仮に暗記していたとしても試験場で再度導出しておいた方が無難です。

投稿者: matsubushi

趣味で数学など

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