二変数関数の大小関係 (1969年 東工大)

　本記事では今から50年以上前に東工大で出題された、多変数関数の大小関係に関する問題を取り上げます。

　一般的な多変数関数の性質を議論する為には、偏微分や全微分など高校数学の範囲を超えた手法が必要となります。しかしながら、本問が大学入試問題として出題されている以上、工夫する事で高校数学の範疇に落とし込むことが可能なはずです。

　ところで、一般的に2つの式の大小関係を議論する場合「両者の差と0との比較」「両者の比と1との比較」の2通りのアプローチが考えられますが…

解答

コメント

　大学入試で登場する多変数関数を扱う場合、適切な置き換えを施すことで1変数関数の問題に帰着させる事は1つの定石です。しかしながら、与えられた2つの関数を別々に見た場合この方針を取ることは一見困難に思えます。

　ところが2つの関数の比を定義して「t = x/y」と置き換えることで、本問は1変数関数の問題に帰着させることが可能となり、与えられた条件からtの定義域も定まります。ここまで来てしまえば本問は8割方解決したと言っても過言では無く、あとは少々複雑な微分計算を行うだけです。

　2つの式の差を取った場合も式変形など工夫を行うことで「t = x/y」の置き換えを用いた1変数関数の問題に帰着させる事は可能ですが、比を利用した場合と比べて見通しは悪く難易度は高いと言わざるを得ません。

　上手く嵌れば短時間での完答も可能ですが、一方で方針を誤ると泥沼に嵌る危険性も備えており、実力差が出やすい問題ではないかと思います。