2020年10月 – 数学日和

確率問題に潜む定積分 (2010年京大・理系)

　「n個のボールが2n個の箱に重複なく入る確率」という典型問題ですが、今回問われているのは確率そのもの(pn)ではなく関連した極限値となっています。このような出題形式の場合、確率をnの式で表現するところが本題であり「極限続きを読む “確率問題に潜む定積分 (2010年京大・理系)”

　「整数nの多項式が素数となる条件を考えよ」という非常にシンプルな内容ですが、無数に存在する整数全てについて検証する事は不可能です。　そこで与式を f(n)と置き、まずは小さな整数値で状況を探る事にします。 f(-3)続きを読む “素数と多項式 (2018年京大・文理共通)”

リーマンゼータ関数について　　リーマンゼータ関数は上のように無限級数の形で表現される関数であり、数学や物理学の領域における重要な研究対象として知られています。実は負の値や複素数に対しても定義可能なのですが、今回はsを続きを読む “立方数とその逆数和の評価 (1992年阪大理系)”

　非常にシンプルな設問ですが、それゆえに結論を導くための情報が非常に限られており見かけほど簡単ではありません。　多くの受験生はαとβの関係性を探ろうと、与えられた等式に対して色々な式変形を試したものと思われます。三角関続きを読む “式変形に潜む罠 (2020年早稲田大・人間科学)”

　大学入試で登場する数列には大きく分けて以下の3パターンがあり、理論上はどのパターンであっても代入計算によって任意のnに対してanを計算することが出来ます。 ① 等差数列・等比数列などの基本形② 「an = n2+n」続きを読む “特殊ルールで規定される数列 (2008年早稲田大・商)”

　本問は無機ハロゲンに関する前半部分(問題I)と有機ハロゲン(問題II)から構成されており、一部関連していますが(問2と問7)ほぼ独立した内容になっています。前半は無機分野で頻出の知識及び記述問題ですが、後半部分は医学部続きを読む “有機ハロゲンと麻酔薬 (2012年東京慈恵会医科大)”

　「(指数関数) x (三角関数)」の積分はもはや大学入試における定番中の定番であり、絶対値などを絡めつつ毎年のようにどこかで出題されています。本問はその上位互換とも言うべき計算問題で、「(一次関数) x (指数関数) 続きを読む “難度の高い定積分問題① (1966年東工大)”

tan1°は有理数か (2006年京都大学・後期) 　「tan1°は有理数か」とは2006年の京大後期に出題された大問の1つであり、極めて簡潔ながら発想力及び論証力が問われる良問として、歴代の入試問題の中でも随一の知名続きを読む “cos1°は有理数か (2018年藤田保健衛生大学・医)”

　　　4つの面が全て合同であるような四面体は等面四面体と呼ばれ、大学入試では比較的高い頻度で登場します。最も多いのタイプは本問のように等面四面体の体積を求める問題ですが、等面四面体に関する「ある性質」を把握しているか否か続きを読む “等面四面体と直方体 (2014年早稲田大・教育)”

　地殻中に二番目に多く含まれ、大学入試における無機化学の分野では非常に出番が多いケイ素ですが、反面有機化学分野では合成ゴムの一種としてシリコーンゴムに言及される程度で殆ど出番はありません。実はケイ素原子は化学合成など有機続きを読む “有機ケイ素化合物と大学入試 (2020年和歌山県立医大)”