見方を変えれば変数も変わる (1973年 東大・理系)


 fkはn個の変数 (x1, x2, …, xn) から成るk次の多項式であり、これをf1及びf2のみで表現する事は一見すると難題のように思えます。そこでx1, x2, …, xnの取り得る値が0, 1, 2の3通りしか無いことに注意すると、f1、f2、fkに対する別の表現が浮かび上がります。

解答

コメント

 f1、f2、fkは与えられたn個の変数に対する和である為、各項の順番を入れ替えたとしてもその値は不変です。従ってn個の変数xi (i = 1, 2, …, n)の中で、xi = 1となるiの個数(p)とxi = 2となるiの個数(q)さえ分かれば、f1、f2、fkの値が決定されます(変数の総和はnなので、xi = 0となるiの個数は n-p-q)。

 このことに気が付いてしまえば、n変数に対する1次、2次、k次多項式であったf1、f2、fkを僅か2つの変数(p及びq)から成る1次多項式へと書き換えることが出来、あとは極めてシンプルな2元1次の連立方程式の問題に帰着されます。

 本問はとにかく初手で全てが決まるといっても過言ではなく、方針が見えてしまえばその後の計算量は非常に少なく短時間での完答も容易です。逆に与えられた多項式の形に拘ってしまうと、いくら時間があっても答えにたどり着くことは難しいでしょう。

投稿者: matsubushi

趣味で数学など

コメントを残す

以下に詳細を記入するか、アイコンをクリックしてログインしてください。

WordPress.com ロゴ

WordPress.com アカウントを使ってコメントしています。 ログアウト /  変更 )

Google フォト

Google アカウントを使ってコメントしています。 ログアウト /  変更 )

Twitter 画像

Twitter アカウントを使ってコメントしています。 ログアウト /  変更 )

Facebook の写真

Facebook アカウントを使ってコメントしています。 ログアウト /  変更 )

%s と連携中

%d人のブロガーが「いいね」をつけました。