見た目に騙される勿れ① (2019年 和歌山県立医科大)

 
 与えられた条件設定は極めてシンプルで距離の立式も容易な為、一見するとありふれた計算問題のように見えます。しかし、勘の鋭い受験生であれば最大・最小となるx座標の「具体的な値」では無く「小数第一位までの近似値」を問われている辺りで、何やら嫌な予感がしたかもしれません。

解答

STEP1: 距離のグラフの概形を考える


 とりあえず動点Pを(x, x2)として距離の二乗をf(x)と定めることで、本問は閉区間における四次関数の最大・最小問題に帰着されます。ここまでは大半の受験生が即座に到達したと思われますが、これは本問における「地獄の入り口」に過ぎません。

 まずf(x)の概形を描くためにはf'(x) = 0の解を求める必要が有ります。f'(x) = 0が因数定理によって簡単に因数分解出来れば本問は教科書レベルなのですが、やはりというべきかf'(x)は有理数の範囲で因数分解することは出来ません。

 そこでf'(x)の増減を調べる為にf”(x)の符号を考えると、f'(x)は閉区間内に極大値と極小値を1つずつ持つことが分かります。そして極値及び端点の符号に注意しながらf'(x)のグラフを描写することで、f'(x)は閉区間[-2, 2]内に異なる3つの実数解α, β, γを持ち、符号変化からf(x)はいわゆる「W字型」のグラフである事が分かります。

 以上の事からf(x)の最大値は「両端または極大値」、最小値は「2つの極小値のうち小さい方」となります。なおこの時点では両端点以外の大小関係は明らかでない為正確なグラフを描くことは出来ませんが、証明すべき事柄や放物線と定点の位置関係を考えると f(x)はx = βで最大となり、x = γで最小となる事が予測されます。

STEP2: 最大・最小となるxを決定する


 続いてf(-2)とf(β)、f(α)とf(γ)の大小関係を議論する事になりますが、f(α)、f(β)、f(γ)はいずれも4次式の形でありこのまま扱うことは困難です。そこでα、β、γがf'(x)=0の解である事を利用して次数下げ行うと、f(α)、f(β)、f(γ)はいずれも二次式となります。後は各々差を取って大小関係を議論する事になりますが、まずは登場する文字数が少ないf(-2)とf(β)の大小関係から始めた方が楽でしょう。

 残るはf(α)とf(γ)の大小関係ですが、こちらは解と係数の関係を利用してβを持ち出した方が議論がスムーズとなります。このステップも次数下げや数式処理が煩雑であり、決して容易ではありません。

STEP3: 小数点第1位まで求める

 最後はf'(x)に具体的な値を代入して、中間値の定理からβ及びγの値を小数点第一位まで求めます(四捨五入ではありません)。しかしながら言うは易く行うは難し、この部分についても代入する値に対する試行錯誤が必要な上、代入計算も中々に煩雑な為決して気は抜けません。

コメント

 問題文は非常に取っつきやすく、最初の立式部分については簡単ですがそれ以降の数値処理は苛烈を極めます。f(x)の概形把握、f(x)を最大・最小にするxの決定、それらの値の評価とどれをとっても高い計算処理能力が問われます。

 発想力はそれほど必要でない為(せいぜい次数下げを行う程度)、時間さえかければ何とか完答できると思いますが、計算ミスの恐れもある本問について試験場でそうした作戦を取ることは得策とは言えません。上記解答の「STEP1」あたりまで記述した所で一旦切り上げ他の問題に移り、時間に余裕があるようであれば戻ってくる、といった部分点稼ぎの方針を取らざるを得ないでしょう。

 本問のようにノーヒントで具体的な値を評価させる問題は計算が煩雑になる事が多く、登場した場合は要警戒です。

投稿者: matsubushi

趣味で数学など

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