代数学の転換点 (2006年 筑波大)

 一次方程式や二次方程式は式変形や解の公式の利用で中高生でも簡単に解くことが出来ますが、三次以上の方程式となると因数分解可能な一部の例を除いてその解を具体的に求めることは困難を極めます。大学入試で高次方程式の解を具体的に求める必要がある場合、因数定理や他の公式を利用することで自力でに因数分解が可能であるか、適切な誘導が付いているかのどちらかです。

 本問は後者のケースに該当し、筑波大受験者層であれば短時間で完答しておきたい計算問題です。受験数学として特筆すべき点はありませんが、代数学の歴史において重要な発見を内包しています。

(1)の解答


 恒等式に関する典型問題であり、両辺の係数を比較することでt, p, qに関する関係式が得られます。その後はどの文字を残すかによって個人差が出ると思いますが、一つの例としてtに関する三次方程式に帰着させることが可能です。この三次方程式は3つの異なる実数解を持ちますが、問題文よりtは整数であるので t = 3が得られます。

 (p, q)の組は2通り存在しますが、(2x+1)2 = (-2x-1)2 であるのでどちらを選んでも結果は同じになります。

(2)の解答


 二乗の差がそのまま与えられているので、公式を利用することで2つの二次式の積に因数分解出来ます。あとは2つの二次方程式を解くだけで、結局この四次方程式の解は全て虚数であることが分かります。ノーヒントであれば非常に厳しい問題ですが、丁寧な誘導が付いていることで単純な計算問題となっています。

コメント

 誘導がやや過剰気味な事もあり、気を付けるのは計算ミスぐらいといった内容です。第一問という事で最初に片づけて勢いをつけて残りの問題に取り組みたい所ですが、逆に計算ミスなどでここを落とすとダメージは大きいです。

余談: 四次方程式の一般的解法

 受験生からすると(1)の誘導は唐突な印象を受けると思いますが、これは16世紀にイタリア人数学者フェラーリが一般の四次方程式に対して初めて与えた解法として知られています。

 実は本問の(1)で行った以下の変形は、3次の項が0であるような任意の実数係数の四次方程式すべてに対して適用する事が可能です。

「x4+ax2+bx+c = 0 ⇔ (x2+t)2 – (px+q)2 = 0
⇔ (x2+px+(t+q))(x2-px+(t-q)) = 0」

 3次の項が0でない四次方程式も、ごく単純な変数変換を行うことで3次の項が0であるような形に変形する事が可能であり、結局この考え方は任意の四次方程式全般に適用可能です。この方法ではt, p, qを元々の係数a, b, cで表現する必要がありますが、その際tに関する三次方程式が出現します。

 三次方程式に関してはやはり16世紀にフェラーリの師であるカルダノがその一般的解法を自らの著書にて公表している為(後述)、これにより理論上は任意の四次方程式についてその解を求めることが可能になります。カルダノ及びフェラーリによって三次及び四次方程式の一般的解法が与えられたことのインパクトは極めて大きなものであり、代数学の歴史における一つのターニングポイントとされています。

 なお今回のように得られた三次方程式の解が簡単に決定できれば良いのですが、そうでない場合は二次方程式の場合と比べて遥かに複雑な解の公式を利用する必要があります(下図はwikipediaより引用、aiは三次方程式におけるi次の係数)。その場合対応する四次方程式の解は更に複雑な形となってしまいます。

 
 その後もオイラーやデカルトなど名だたる数学者が四次方程式の解法を考案していますが、基本的にはフェラーリの方法と同様に何らかの三次方程式を解く問題へと帰着されます。 

 四次方程式までは四則演算及び冪根の付加を有限回繰り返すことで極めて複雑ながらも解を与えることが出来ますが(代数的解法)、五次以上の高次方程式では楕円モジュラー関数の導入など、更なるプロセスが必要になります(超越的解法)。

投稿者: matsubushi

趣味で数学など

代数学の転換点 (2006年 筑波大)」に2件のコメントがあります

  1. 四次方程式、大学で出てきますが解法あったのですね・・・(無知)

    化学なので正確にはいらなかったですが、試行錯誤法でやらされまくった思い出が・・・

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