等面四面体と直方体 (2014年 早稲田大・教育)

  
 4つの面が全て合同であるような四面体は等面四面体と呼ばれ、大学入試では比較的高い頻度で登場します。最も多いのタイプは本問のように等面四面体の体積を求める問題ですが、等面四面体に関する「ある性質」を把握しているか否かでその難易度は激変します。

解答

コメント

 予備知識がない場合は「四面体の体積 = 底面積 x 高さ x 1/3」の基本に立って計算を進めるしかなく、ベクトルを利用するにせよ座標を利用するにせよ相当量の計算が必要になってしまいます。

 実は「任意の等面四面体はある直方体に内接する」という事実が知られており、これを利用すれば等面四面体に外接する直方体を求めることで「四面体の体積 = 直方体の体積 – 4つの合同な四面体の体積」という考えに持ち込むことが出来ます。

 等面四面体の底面積や高さの計算に煩雑さに比べれば、外接する直方体の3辺を計算する事は容易であり、3辺の長さが分かれば直方体及び取り除かれる四面体の体積は即座に計算可能です。

 まさに知ってるか否かで天国と地獄といった内容であり、一度は解いておくべき有名問題と言えます。

投稿者: matsubushi

趣味で数学など

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