立方数とその逆数和の評価 (1992年 阪大 理系)

リーマンゼータ関数について

\zeta (s)=\sum^{\infin}_{n=1} \frac{1}{n^s}

 

 リーマンゼータ関数は上のように無限級数の形で表現される関数であり、数学や物理学の領域における重要な研究対象として知られています。実は負の値や複素数に対しても定義可能なのですが、今回はsを正の実数に限定して話を進めます。

リーマンゼータ関数が収束する条件

 ζ(s)で定義される無限級数について、s>1の時に収束することが分かっています(すなわちζ(s)はs>1において定義されます)。s>1でζ(s)が収束することの証明は、以下の定積分の長方形近似を利用した方法が一般的です。また、0<s≦1の時はζ(s)は正の無限大に発散する為、特殊な数理的手法を用いない限りその値を定義する事は出来ません。

 
 例えば本問で登場する不等式の左辺はζ(3)の部分和から1を除いたものですが、y = 1/x3のグラフを考えることで、上図左側におけるn-1個の長方形の面積の総和(S1)として与えられます。

 一方で上図右側のように y = 1/x3 のグラフとx軸、x = 1, x = nで囲まれた部分の面積をS2とすれば、S1<S2が成立します。ここでS2が n→∞で1/2に収束する為、S1もn→∞で収束しその値は1/2より小さくなることが分かります(注: 上に有界な単調増加数列は収束する事が知られています)。他のs>1についても y = 1/xsのグラフを利用する事で同様の結論を得ることが可能です。

 しかし残念なことにS2は n≧2において1/4より大きな値を取る為、S1<S2の関係式から表題の不等式を証明する事は出来ません。それではこの長方形近似を利用した解法を諦めるべきなのでしょうか?

解答


 定積分の長方形近似はあくまで「近似」である為、各区間に対して長方形の面積と定積分の値に「誤差」が生じます。今回扱うy = 1/x3 (x > 0)は正の値を取る単調減少関数である為、xの値が小さい区間である程両者の誤差は大きくなります。

 上述のように長方形の総和全て(S1)を対応する定積分(S2)で上から評価した場合、両者の誤差は最も大きくなります。今回の不等式を証明する上ではS2を利用した評価では不十分であり、より厳密な評価が必要になります。

 そこで「誤差」を最小限に留めてより厳密な評価を行う為、長方形の面積をある区間までは直接計算し(即ちこの区間では誤差は0となる)、残る区間を定積分により上から評価する事を考えます。

 例えば今回のように1≦x≦2の部分は長方形として直接計算し、残る区間を定積分により上から評価した面積S3を考えます。するとS1<S3<S2が成り立つため、S2を用いた場合より更に厳密な評価が出来ることが分かります。そして幸いなことに、S3 < 1/4が任意の2以上の自然数nで成立する為、表題の不等式が証明された事になります。

 1≦x≦kの部分を長方形として直接計算して、残る区間を定積分として上から評価する場合、kが大きい程その評価は当然厳密になりますが反面計算量も増えていきます。今回のようにまずk = 2から初めて、不十分なようならばkの値を段階的に大きくしてゆくことが得策でしょう。

コメント

 定積分の長方形近似は非常に有名な解法である為、今回のような問題に出会った場合機械的に処理しがちです。多くの受験生はとりあえずS1<S2を利用した不等式評価から始めたものと思われますが、今回はそれでは解決しません。

 信頼していた手法が上手く作用しなかったときにすぐ諦めるのではなく、「なぜ上手くいかなかったのか?」「どのように改良すればよいか?」という事を長方形近似の原理に立ち返って落ち着いて考えれば次の手は自ずと浮かんでくるはずです。

 本問は大学入試では頻出の長方形近似に関する原理を理解するうえで、一度は解いておきたい良問と言えます。

余談: アペリーの定数

 ζ(3) = 1+1/23+1/33+…の値は綺麗な形にはならず、以下のような定積分を含んだ形で与えられることが知られています(これ以外にも幾つか表現方法があるようです)。

 上の定積分の形は1772年にレオンハルト・オイラーによって与えられたものですが、この値が無理数である事が証明されたのはそれから200年以上後の1977年の事です。現在ではこのζ(3)の値は、無理数である事を証明した数学者の名前を取ってアペリーの定数と呼ばれています。

投稿者: matsubushi

趣味で数学など

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