問題文から考えられる積f(x)は全部で15通り存在します。15通り全てについて定積分を計算する事は不可能ではありませんが、試験時間を考えると現実的ではありません。
解答
積分区間においては有名不等式「0 ≦ sinx ≦ x」が成立する為 (一応証明しておくべきだと思います)、定積分を最小とする積f(x)を考えるだけであれば、関数xを選択する必要が有りません。
この事に気が付けば15通りあったf(x)の候補が5通りまで絞り込まれ、更にいずれも積の中に関数xを含まない為計算難易度も比較的低めです。
それでもcos4x, sin4xあたりの定積分はそれなりに煩雑なので、置換積分を利用する事で計算の手間を最小限に抑えています。
コメント
一見すると計算問題のように見えますが、実際には三角関数と定積分に関する不等式を利用して候補となる関数を絞り込む部分が全てです。前準備を怠って計算を開始した場合は時間が幾らあっても足りず、方針選択の重要性を実感させられます。