三角形をはんぶんこ (2011年 早稲田大・教育)


 三角形の面積を二等分する線分の長さに関する有名問題です。単純明快な問題設定とは裏腹に、要求される手数が非常に多く難儀させられます。

解答


 線分の引き方は両端が三角形のどの辺上に存在するかの違いによって3パターン存在します。各パターンについてほぼ同様の議論を行えば良いだけなのですが、記述量が多いためそれなりに時間を要します。

最小値を求めるだけであれば相加相乗の式を利用すれば良いと思いますが、今回は最大値を求める必要が有るため念のために微分を活用しています。

コメント

 計算ミスに気を付けながら丁寧に場合分けしてゆけば完答できるタイプの問題なのですが、計算量は非常に多いです。本番では試験時間や他の問題の難易度と相談しつつ、解き進めてゆくことになると思います。

 なお今回の結論から推測できる通り、任意の三角形についてその面積を二等分する線分のうち長さが最大となるものは「3つある中線のうちのいずれか」であり、最小となるものは「切り出した三角形が二等辺三角形となるような3種類の線分のいずれか」となります。

 時々類題が出題されますが(下記参照)、上記の事を頭に入れておけば何かと便利であり、特に短答式試験であれば計算時間を大幅に軽減する事が可能です。

類題: 1975年東大・文理共通

 与えられた三角形の形状が異なるだけでコンセプトは今回の問題と殆ど同じですが、線分の長さの最大値を考える必要がない分こちらの方が簡単です。

 途中計算は省略しますが、CP = CQ = 24となるように辺AC, BC上にP, Qをとればよい事が分かります(P, Qはどちらがどの辺上にいても良い)。

投稿者: matsubushi

趣味で数学など

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