サイコロと最小公倍数・最大公約数 (2020年 北海道大・理系)


 n回振ったサイコロの目について最大公約数及び最小公倍数を考えます。問われている内容は明確な為一見すると簡単にも思えますが、この手の問題を試験場でミスなく完答する為には日頃の鍛錬が重要となります。

 なお本問は(2)までは文理共通問題であり、(3)は理系のみの出題です。

(1)の解答


 最大公約数が3となる為には出目が全て3の倍数となる必要がありますが、出目が全て6の場合に限り最大公約数は6となるため除外する必要が有ります。

 決して難しい訳では有りませんが、最大公約数が6となる場合を忘れないように注意が必要です。

(2)の解答


 最大公約数が1となる場合を直接考えようとすると思わぬ苦戦を強いられる為、一旦余事象に目を向けます(サイコロの目の種類から取り得る最大公約数の値は1から6までのいずれか)。

 最大公約数が3となる場合は(1)で既に求めており、最大公約数が4, 5, 6となる場合は出目が全て4, 5, 6となる場合のみなので非常に簡単です。

 残るは最大公約数が2となるケースですが、これは出目が全て偶数となる事象から最大公約数が4, 6となる事象を除いたものとなります。

 求める1つの事象に対して、余事象は5つ存在する為一見すると回りくどい解法に見えますが、結果的には余事象を考えた方が手短に解決します。まさに「急がば回れ」というべき内容で、いかに早く余事象を利用する解法に舵を切ることが出来たかが所要時間に大きく影響します。

(3)の解答


 一度でも3または6の目が出てしまうと、その時点で最小公倍数は3の倍数となるため条件を満たしません。よって許される出目は1, 2, 4, 5のいずれかとなりますが、4及び5の目が少なくとも1回は出ることが必要(かつ十分)条件となります。

 求めるべき事象を考える上では、上記のようにベン図を作成すると見通しが良くなりますが、理系専用問題ということもあり前問に比べると難易度はやや高めです。

コメント

 この手のサイコロ問題は解答を見てしまうと難しさを感じにくいのですが、実際に試験場で対面すると事象の数え漏らしや重複が発生し思うように得点できない事があります。そのような事態を避ける上でも本問を含めた類題を、解答を見ないで自力で解けるように演習する必要があります。

 

投稿者: matsubushi

趣味で数学など

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