複素数絡みの整数問題 (2000年 一橋大学)


 素直に考えるのであれば与えられた関係式「w2z = 1 + 18i」の左辺を展開して両辺の係数を比較する所ですが、これにより得られる等式は非常に複雑でここから更なる情報を得ることは困難を極めます。

 そこで元々の関係式が複素数に関するものであることに注意して、別の角度から何か情報が得られないかと考えると…

解答


 与えられた関係式(式①)の絶対値を取ることで、w, zの絶対値に関する必要条件を比較的簡単な式として得ることが出来ます。これによりw, zの係数であるa, b, c, dの組み合わせを4通りまで絞り込むことが出来ます。

 ここまで来てしまえば、下手に策を弄するよりは各々代入計算を行った方が確実かつ早く、結局条件をみたす複素数w, zの組は唯一通りに定まります。

コメント

 両辺の係数を直接比較する方針に固執してしまうと、徒に時間を使うばかりで中々解答には辿り着けません。本問が複素数絡みの問題である事に着目し、絶対値の活用に気づく事が出来たかが全てと言っても過言ではありません。

投稿者: matsubushi

趣味で数学など

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