整数問題における指数関数の捉え方②(2016年 一橋大)


 変数はxのみですが与えられた方程式をxについて解くことは難しそうです。与えられた方程式は両辺に指数関数を含みますが、各々の底の大小関係に着目する事が第一歩となります。

解答


 与えられた方程式は「6・27x + 1 = 7・25x」とみなすことが可能であり、左辺は27を底とする指数関数、右辺は底を25とする指数関数をそれぞれ含みます。

 即ち両辺を別々の関数と見做した場合左辺の方が増加速度が大きく、ある程度大きなxに対しては「左辺>右辺」となって方程式が成り立たないと考えられます。

 以上を念頭に置いて与えられた方程式から「6・27x < 7・25x ⇔ 1.08x < 1.1666…」を必要条件として導く事で、解の候補となるxを大幅に絞り込むことが出来ます。

コメント

 指数関数の発散速度の違いを利用する事で、本問は計算を最小限に抑えつつ解答する事が可能です。一橋大の整数問題としては標準的なレベルなので、是非完答して置きたい所です。

 

投稿者: matsubushi

趣味で数学など

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