2021年1月 – 数学日和

n進法絡みの整数問題 (2016年京大・文系)

　通常の感覚(十進法)であれば上記の等式は当然成立しませんが、ある自然数nに対してn進法で考えれば成立するようです。　本問の目的はそのnの値を決定する事であり、n進法に関する理解力が問われます。解答　まずはn進法で続きを読む “n進法絡みの整数問題 (2016年京大・文系)”

　算額とは絵馬や額などに和算(狭義には江戸時代の日本独自に発達した数学を指す)の問題や解答を書き込み、それらを神社や仏閣に奉納したものを指します。元々は学業成就を記念して奉納されたとされている算額ですが、一方で和算愛好家続きを読む “和算と算額 (2017年慶応義塾大・環境情報)”

　与えられた多項式を展開して各々の係数を直接求める事も出来ますが、計算量は膨大で計算ミスのリスクも高く、JMOの趣旨を考えればそれは「最後の手段」と考えるべきでしょう。　各々の係数そのものではなく係数の和が問われている続きを読む “式の形にヒントは潜む (2013年 JMO予選第四問)”

　二つの変数が絡んだ一見して複雑な不等式の証明問題です。文理共通問題であることから微分など数III絡みの知識は不要であり、あくまで式変形によって不等式を証明する為の力量が問われます。解答　|x| ≦ 1 及び |y|続きを読む “複雑な不等式の証明 (2015年大阪大・文理共通)”

　各桁の数が全て1であるような自然数はレピュニット数(Repunit)と呼ばれ、入試問題でも整数問題や数列絡みで時々登場します。n桁のレピュニット数は初項1、公比10の等比数列の和として見做すことが出来る為、問題文のよう続きを読む “レピュニット数の性質 (2008年東大・理系)”

　灘中学と言えば開成や筑波大付属駒場などと共に中学入試界隈における最高峰とも言うべき存在であり、入試問題のレベルも小学生レベルを逸脱しています　どの問題も中学入試で許される範囲内でとことん練り上げられており、難易度のベ続きを読む “中学入試の最高峰 (灘中学 2021年・算数)”

　正二十面体の体積という興味深い題材を扱っている本問ですが、問題文中に図が存在しないため正二十面体の概形を自力でイメージする必要があります。　大学入試ではなじみの薄い空間幾何分野の問題も含まれており、類題経験の無い受験続きを読む “正二十面体を考える (2017年京都府立医科大・改題)”

　予選の2問目はJMO恒例の平面図形問題です。正十角形から切り出された2つの図形の面積の和を求める問題ですが、とある事実に気が付いてしまえば計算は殆ど必要ありません。解答　正十角形の頂点をA~J、中心をOとします。下続きを読む “正10角形と等積変形 (2021年JMO 予選第二問)”

　正九角形の対角線というマニアックな題材を取り扱った問題です。本問は様々なアプローチが考えられますが、指定通りの形式(a + bcos20°)で解答するには少々苦労させられるかもしれません。解法1 (二等辺三角形を利用続きを読む “正九角形の対角線 (2012年早稲田大・人間科学)”

　漸化式から一般項を決定するタイプの問題です。ノーヒントであれば中々厳しい内容ですが、幸いなことに丁寧な誘導が付いているのでそれに乗っかるだけです。解答(正攻法) 　　anとbnの関係式をanついて解き、元の漸化式に代続きを読む “空欄補充問題における邪道 (2010年早稲田大・スポーツ科学)”