昨日2021年のJMO予選が行われましたが、今年はコロナウィルスの影響もあり異例のオンライン開催となりました。とはいえ解答方式は例年通りで、試験時間3時間に対して12問の大問から構成されており、各問題に対して答えのみを記入する形式です。
第1問は整数絡みの最大・最小問題であり、第1問ということもあって難易度は低めになっています。
解答
mとnの和が一定である事から、一方を消去して(今回はmを消去した)二次関数の最大値問題に帰着させるだけです。①式よりn及びmが45に近い値であるほどmnは大きくなります。この事とmとnが互いに素であるという条件から、結局取り得るmnの最大値は「43 x 47 = 2021」と求まります。
コメント
第一問目ということもあり、特に難しい点はありません。明言はされていませんが、本問の背景には今年の西暦2021年に関する素因数分解が潜んでいる事は想像に難くありません。
数学日和 