正10角形と等積変形 (2021年JMO 予選 第二問)


 予選の2問目はJMO恒例の平面図形問題です。正十角形から切り出された2つの図形の面積の和を求める問題ですが、とある事実に気が付いてしまえば計算は殆ど必要ありません。

解答

 正十角形の頂点をA~J、中心をOとします。下図左の通り補助線を引くと、斜線部の面積は△AOH(領域①)、四角形OABC(領域②)及び△CDE(領域③)の総和として与えられます。

 ここで△AOHと△COE(領域④)の面積は等しいので(証明は割愛しますが、例えばsin108° = sin72°を利用するなどの方法があります)、与えられた斜線部の面積の総和は下図右に示す六角形OABCDEの面積と等しくなります。

 六角形OABCDEの面積は元の正十角形に対して丁度40%であり、与えられた正十角形の面積が1であることから、その面積は2/5となります。

コメント

 2か所の面積を別々に計算しようとすると手詰まりとなってしまいますが、上手く等積変形を行うことですっきりと解決します。いかにもパズルちっくで、JMOらしい問題であると言えます。

投稿者: matsubushi

趣味で数学など

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