中学入試の最高峰 (灘中学 2021年・算数)

 灘中学と言えば開成や筑波大付属駒場などと共に中学入試界隈における最高峰とも言うべき存在であり、入試問題のレベルも小学生レベルを逸脱しています

 どの問題も中学入試で許される範囲内でとことん練り上げられており、難易度のベクトルは大学入試などよりはJMO予選に近い気がします。

 今回はそんな灘中の今年の算数(第1日目)から、いくつか問題をピックアップしてみました。問題の難易度もさることながら、60分という制限時間で12問の小問を捌く必要があり、時間的な余裕は全くありません。

第1問

 灘中の第一問は例年空欄を含む式絡みの出題ですが、見ての通り非常に複雑な形となっています。時間をかければ解答にたどり着くことは出来ますが、制限時間を考えると余り悠長に構えている暇はありません。

解答


 中学入試ということで、方程式を使わずにあくまで逆算のみを繰り返して解答を作成してみました。本問を手早く解くためのポイントは2つの素因数分解「221 = 13 x 17」及び「2021 = 43 x 47」を利用する事と思われます。

 特に後者は今年の西暦絡みの素因数分解である為、灘レベルの受験者層であれば心得ておくべきと言えるかもしれません。灘中のレベルを考えると本問は小手調べレベルであり、手早く解答して弾みを付けたい所です。

第7問


 JMOやJJMOの予選で出題されそうな雰囲気の問題です。Xの候補は非常に多い為、各々7倍して吟味していたのではあっという間にタイムオーバーとなります。

解答

 Xが取り得る最大値は987であり、これを7倍すると987 x 7 = 6909です。従ってXを7倍して得られる四桁の整数ABCDにおけるAの最大値は6となります。

 一方でD>0に注意すると整数ABCDが取り得る最小値は4321であり、Aが3以下の値を取ることはありません。そこでAが4, 5, 6それぞれの場合についてABCDが取り得る値を網羅します。

A = 6 の時
6543、6542、6541、6532、6531、6521、6432、6431、6421、6321

A = 5 の時
5432、5431、5421、5321

A = 4 の時
4321

このうち7の倍数となるのは6531、6321、5432の3通りであり、それぞれを7で割った商は933、903、776となります。Xの各位の数字は互いに異なる為、条件を満たすのは903のみとなります。

 Aの最大値が6である事に気が付けば条件を満たすABCDの候補はそれ程多くない事が分かります。後は各々が7の倍数か否かを判定する必要がありますが、本問のように15個程度であれば素直に7で割ってしまった方が早いでしょう。

 このように一見すると非常に時間がかかりそうに見える問題も、アイデア一つで所要時間を大幅に短縮することが出来ます。これが中学入試のレベルと考えると灘中生恐るべしと言った所です。

第9問


 最後は平面図形に関する問題をピックアップしました。大学入試であれば座標なりベクトルなり色々な道具が飛び出しますが、中学入試で使える手法は限られます。

解答

 とにかく与えられた条件を全て利用するように心がけます。まずは問題文より△ADF及び△CEFの面積は各々10 cm2、35 cm2と下図(A)のようになります。

 更に△ABCの面積は80cm2であり、AF:FC = 1:3であることから△ABF及び△BCFの面積はそれぞれ20cm2、60cm2となります(下図(B))。

 そして図(A)と図(B)を組み合わせることで△BDF及び△BEFの面積が分かり、△ADFと△BDFの面積比からADとDBの比が、△BEFと△CEFの面積比からBEとECの比率が分かります(下図(C))。

 そして図(C)に示した線分の比率から、△ABCと△BDEの面積比及び△BDEの面積が分かります。更に四角形BDFEの面積は図(C)から35cm2であるので、△BDEの面積を差し引くことで△DEFの面積も分かります。

 ところで△BDE = △BDG + △BEG、△DEF = △DFG + △EFGであるため、△BDEと△DEFの面積比は線分BGとGFの長さの比に一致します。すなわちBG:GF = 10:11であり、GFの長さはBGの長さの1.1倍という事になります。

 以上のように面積と長さの関係をうまく利用しながら議論を進める必要が有り、補助線こそ不要ですが中々骨が折れる内容です。「最終的な結論を得る為には何が分かる必要があるか?」ということを考えながら逆算してゆくことが大切です。

コメント

 小学生向けの問題の筈なのですがどれをとっても一癖あり、短時間で答えを出すには高い発想力と日々の鍛錬が要求されます。今回取り上げた問題以外も難易度は同程度か、更に高く自分も時間内に完答出来そうもありません。

 

投稿者: matsubushi

趣味で数学など

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