レピュニット数の性質 (2008年 東大・理系)


 各桁の数が全て1であるような自然数はレピュニット数(Repunit)と呼ばれ、入試問題でも整数問題や数列絡みで時々登場します。n桁のレピュニット数は初項1、公比10の等比数列の和として見做すことが出来る為、問題文のように指数関数を用いて表現されることもあります。

 レピュニット数が持つ面白い性質として「各桁の和が3nの倍数であれば(= レピュニット数の桁数が3nの倍数)、そのレピュニット数は3nの倍数となる」が知られており、本問ではnが3のケースに関する証明を行います。

 一般の自然数について各桁の和が3または9の倍数であれば、それらは3または9の倍数であることは良く知られていますが、nが3より大きい場合は必ずしも成立しません(例えば7569の各桁の和は27であり9の倍数ですが、27で割り切ることは出来ません。

 Wordpressでは問題文の記号(四角囲い)が入力できなかった為、以降の解説では[n]のように角括弧で代用します。

(1)の解答


 問題文の形から数学的帰納法の利用はすぐに思いつくと思います。因数分解を利用する事で(上記解答のようにx = 10^(3k)と置くと見やすくなる)、とある整数Aに対して「[3k+1] = [3k] x A」という関係式が成り立ち、このAにあたる部分が「3の倍数であるが、9の倍数でない」ということを示す必要が生じます。

 上記の解答ではAの各桁の和が3であることに着目してこの部分を証明していますが、「10 ≡ 1 (mod 9)」を利用してA ≡ 3 (mod 9)を導く方法でも証明出来ます。

 東大入試としては標準的な内容なので、本問はしっかりと得点したい所です。

(2)の解答

十分性


 (1)の結果より[33]は33 = 27の倍数であり、十分性はこの事を利用するだけで証明が可能です。何としてもここまでは完答しておきたいところです。

必要性


 「[n]は9の倍数 → [n]は9の倍数 → nの桁の和は9の倍数 → nは9の倍数」という流れに気が付けば、あとは(1)と同様の流れで証明する事が可能です。ここでも各桁の和に着目して赤波線部が3の倍数となることを証明していますが、先ほどと同様に剰余を利用した解法でも証明は可能です。

コメント

 題材や証明すべき命題は面白いですが、難易度としては全体を通して標準的です。但し、全体的に式が散らかり気味になるので適宜文字による置き換えを行う事で見やすくするなどの工夫が必要です。

 なお本問の結論を帰納的に拡張する事で、一般の自然数nに対しても[n]が3nの倍数である事とnが3nの倍数であることの同値性を導くことが出来ます。

投稿者: matsubushi

趣味で数学など

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