和算と算額 (2017年 慶応義塾大・環境情報)


 算額とは絵馬や額などに和算(狭義には江戸時代の日本独自に発達した数学を指す)の問題や解答を書き込み、それらを神社や仏閣に奉納したものを指します。元々は学業成就を記念して奉納されたとされている算額ですが、一方で和算愛好家における交流の場としての性質も持つようになりました。

 すなわちある人が問題のみを記した算額を奉納し、後日解答やさらなる問題を記した算額を別の人が奉納するといったよう事が行われたようです。

 算額に奉納される和算の問題は幾何分野からの出題が多く、円や多角形を複雑に組み合わた様々な問題が発表されてきました。本問はそうした和算や算額の歴史を意識した内容となっており、円の名称もそれらしくアルファベットの代わりに「甲乙丙」の文字が使われており、長さの単位も寸が採用されています。

解答

 図は非常に複雑ですが各設問(空欄)ごとに必要な情報のみをピックアップし、図をなるべく簡略化することが重要です。

甲円の直径を求める

 最初の空欄では甲円の直径を求める必要がありますが、この時点で必要になるのは7つの円のうち直線に接している2つの甲円と1つの乙円のみです。

 下図の通り乙円の中心、甲円(どちらか一方)の中心、甲円どうしの接点を結ぶと直角三角形が形成され(赤色部)、甲円半径をr1寸と置けば斜辺の長さは(r1 + 1/2), 残る2辺の長さはr1及び(r1 – 1/2)で与えられます。


 あとは三平方の定理によって与えられるr1に関する二次方程式を解くだけであり、r1が正の値である事に気を付けてr1 = 2(寸)を得ます。従って甲円の直径はその倍の4寸となります。

 外接円絡みの頻出問題なので短時間で完答したい所ですが、与えられた図のどの部分に着目すべきか迷ってしまった人もいたかもしれません。

 なお本大学の空欄補充は解答から答えを推測出来ないようにする為か、10の位に0が入ることもあります。例えば本問の解答は4なので、空欄(1)には0、空欄(2)には4がそれぞれ入ります。

上甲円の中心と直線の距離を求める

 次の問題では丙円及び直線と接する乙円を除く5つの円が必要となります。一見すると図は複雑ですが、それぞれの円の中心に着目する事で必要な情報のみを抜き出して図を簡略化することが可能です。

 まず左側の乙円は左下の甲円に内接しており、両円における中心間の距離は互いの半径の和である3/2寸となります。同様に左側の乙円は上甲円にも内接している為、こちらの中心間の距離もまた3/2寸です。更に対称性から左下及び上の甲円及び左の乙円の中心は同一直線状に存在する為、下図右に示す通りこれら2つの甲円における中心間の距離は3寸となります。

 一方で上甲円から直線に対する垂線は右下及び左下の甲円の接点を通り、このうち接点から直線までの距離は甲円の半径と同じ2寸となります。後は上甲円の中心と接点間の距離が分かれば良い訳ですが、これは上甲円及び左下甲円の中心と両下甲円の接点で形成される直角三角形(下図青色)に対し、三平方の定理を適用する事で√5寸と求めることができます。


 以上より求める長さは(2+√5)寸となります。

丙円の直径を求める

 最後はここまで出番のなかった丙円の直径を求めます。ここでは3つの甲円と丙円の位置関係から答えを導きます。

 丙円は上甲円に内接する為、両円の中心間の距離は丙円の半径をr2(寸)とすれば(2-r2)寸となります。また丙円は左下の甲円に外接するため、これら2つの円における中心間の距離は(2+r2)寸となります。

 これらを念頭において丙円の中心、左下甲円の中心、右下及び左下甲円の接点からなる三角形(下図緑色部分)を考えると、斜辺が(2+r2)、残る二辺が2及び(2+√5-r2)寸の直角三角形であることが分かり、三平方の定理を用いることで丙円の半径及び直径を以下の通り求めることが出来ます。

コメント

 与えられた図は複雑ですが、円と円、円と直線が接するという条件を最大限に利用して各円の中心や接点の位置関係を把握する事が大切です。各問題とも適切な直角三角形を見つけ出し三平方の定理を適用するだけで解けるのですが、慣れてない受験生にとっては難儀させられたかもしれません。

 余談ですが慶応大の文系学部では、今回のように円を中心として複数の図形を組み合わせた算額風の問題がしばしば出題されています。特に総合政策学部では過去5年で実に3回(2016年、2017年、2020年)も出題されている他、環境情報学部では本問に加え2019年に類題が出題されています。

投稿者: matsubushi

趣味で数学など

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