n進法絡みの整数問題 (2016年 京大・文系)

 通常の感覚(十進法)であれば上記の等式は当然成立しませんが、ある自然数nに対してn進法で考えれば成立するようです。

 本問の目的はそのnの値を決定する事であり、n進法に関する理解力が問われます。

解答

 まずはn進法で表記されている2, 12, 1331を十進法表記に直します。n進法の世界では各位は右から順番に1, n, n2, n3の位となっているので、以下のような対応関係が得られます。

2 (n進法) ⇔ 2 (十進法)
12 (n進法) ⇔ n+2 (十進法)
1331 (n進法) ⇔ n3+3n2+3n+1 = (n+1)3 (十進法)

 従って問題文の等式を十進法に直すと以下のようになり、以降はこの十進法における等式について考えます。

212 = 1331 (n進法) ⇔ 2n+2 = (n+1)3 (十進法)

 等式における左辺は2以外の素因数を持たない為、右辺の素因数も2のみとなるはずです。従って右辺における累乗の底であるn+1について

n+1 = 2k (k: 3以上の自然数)

 が成立します(kが3以上であるのは、問題文よりnが4以上となる為です)。これを元の等式に代入してnを消去することで、kに関するより簡潔な等式を得る事が出来ます。

2^(2k+1) = 23k ⇔ 2k+1 = 3k

 この等式は左辺がkの指数関数右辺がkの一次関数であるので、指数関数の爆発性を考えるとある程度大きなkでは「左辺 > 右辺」が成り立つと推測されます。試しにk = 3, 4, 5,…と代入してみるとk = 3の時に等式は成立しますが、k≧4では「右辺 > 左辺」となることが推測されます。

 実際にk≧4では「2k+1 > 3k」が成り立っており、このことは数学的帰納法による証明が可能です(今回は割愛しますが、試験場ではこの箇所の証明は必須となります)。

 以上よりk≧4では等式が成立する事は無いためkの値は3であると決定し、この時 n = 7となります。

コメント

 n進法の考え方を理解してnの等式に持ち込むまでが最初の山場ですが、それ以降も素因数が2である事を利用した式変形や指数関数の爆発性を利用した不等式の立式・証明などやることが盛りだくさんです。

 京大らしく完全ノーヒントである為、受験生の実力差が如実に表れる問題であったと考えられます。

投稿者: matsubushi

趣味で数学など

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