素数を使い倒すべし (1995年 京大・理系)


 僅か2行の問題文に4つの文字がひしめいており、多くの受験生は最初の一手を打つだけでも苦労したと思われます。本問ではp及びdが素数であるという事実に着目し、素数としての性質を最大限に利用する必要があります。

解答

① aとbの関係式を導出する


 与えられた等式において右辺は素数、左辺は因数分解可能な整式となっています(n乗差タイプの因数分解は頻出なので、是非覚えておきたい所です)。素数の素因数は1かdのいずれかであるので、この時点でa-bの値は1かdとなるしかありません。

 あとは2つの因数の大小関係から「a-b=1」と決まるわけですが、この大小関係に関してはしっかり議論しておきたい所です。

② 二項定理を用いて示すべき条件を明確にする


 先の関係式に基づいてaを消去した後は、二項定理に従って展開・整理を行います。これによりbpの項が消去され、更に指数として存在していたpがより扱いやすい二項係数の形に変換されます。

 結局④式の形から赤波線の部分が2pの倍数(偶数かつpの倍数)である事を示せばよい事になります。赤波線が偶数である事は④式の形では証明が難しく、③式からdが奇数(すなわちd-1が偶数)であることを示す方が得策です。

③ 二項係数pCkがpの倍数である事を示して完了

 
 最後に赤波線部がpの倍数である事を示せば証明は完了となりますが、ここが最後の難関となります。この部分に関しては二項係数pCkが1≦k≦p-1の範囲において、全てpの倍数となることを示す方針を取っています。

 素数と二項係数に関する上記の性質は難関大入試で時折出題されており、その証明法を含めて覚えておいて損はありません。

 二項係数が整数である事を示す必要があるか否かは判断が難しい所ですが、厳密な証明は意外と難しい為今回は自明であるとして議論を進めました。

コメント

 シンプルな問題文とは裏腹に考える事は非常に多い為、完答出来た受験生は然程多くなかったと思われます。何とかaとbの関係式程度は導いて部分点を稼いでおきたい所です。

 総じて難易度は高いものの素数の性質に関して学ぶべき要素は非常に多く、一度演習しておくべき一問と言えるでしょう。

投稿者: matsubushi

趣味で数学など

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