問われる計算センス (1973年 京大・理系)


 京大らしからぬ純粋な極限計算の問題ですが、計算の手順を誤ってしまうと大幅に時間と取られるうえ計算ミスも多発します。そういった意味では受験生の「計算センス」が問われる一問と言えるかもしれません。

 なおn以降の[…]の部分は一見するとガウス記号にも見えますが、本問では単なる角括弧(大括弧)として扱われている為心配する必要はありません。

解答


 本問のように求めるべき極限の式が非常に長い場合、「an = …」といったように一旦何らかの記号に置き換える事で以降の記述量を大幅に削減できます。更に全ての項を一斉に計算するのではなく、計算が必要な項を抜き出して記述する事も意外と重要な事項であり、記述量を減らすと共に解答の見通しが立てやすくなります。

 実際の計算部分ですが、とりあえず3乗の部分を公式に従って展開計算したくなる所ですが、いざ展開すると計算が非常に面倒になります。ここは第一項では√nが、第二項では√(n+1)がそれぞれ「括り出せる」に気が付けば(解答における式①及び②)、特に面倒な計算を行うことなく式が非常に綺麗な形となります。

 式①及び式②で示した部分気が付いてしまえば以降は標準的な計算問題であり、因数分解や根号の”逆有理化”などを駆使することで極限値を求めることが出来ます。

コメント

 京大理系の数学としては易しめの部類であり、解答を得ること自体は然程難しくありません。しかしながら短時間で正確に解き切るには演習量に裏打ちされた「気づき」が必要であり、そうした意味では入試問題としての機能は果たしたと思われます。

投稿者: matsubushi

趣味で数学など

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