関数絵合わせクイズ (2017年 上智大学・理工)

 与えられた関数に対して、その定積分に相当する関数を選択する一風変わった問題です。記号を選択すれば良いだけなので一見すると簡単なようにも見えますが、試験時間内に効率よく捌くためにはf(x)とF(x)の関係性の正しい理解が不可欠です。

解答

 「F'(x) = f(x)」の関係に気が付けば、f(x)の符号とF(x)の増減を互いにリンクさせる事が可能となり、これが非常に大きな手掛かりとなります。

 また、F(t)はx軸、y軸、直線 x = t 及び y = f(x)のグラフで囲まれた領域の”面積”の和を意味しています(但しここ述べる”面積”は便宜的な表現であり、f(x)が負となる領域では対応する”面積”は負の値を取ります)。

(1)のグラフ

 (1)のグラフを見ると0≦x≦1.6及び3.2≦x≦4.8の範囲ではf(x)≧0であり、1.6≦x≦3.2及び4.8≦x≦6の範囲ではf(x)≦0となっています。すなわちy = F(x)のグラフは前者の範囲で単調増加し、後者の範囲では単調減少となっているはずです。

 加えて以下に示す4つの領域の面積の”絶対値”は「A>B>C>D」となっているため、y = F(x)のグラフは原点を除く与えられた領域で常に正の値を取ると考えられます。


 以上の条件を満たすy = F(x)を選択肢から探すと(d)のみが該当し、これが答えとなります。

(2)のグラフ

 (2)のグラフは合同な三角形が3つ並んだシンプルなグラフです。

 与えられた範囲では常にf(x)≧0が成立している為、y = F(x)のグラフは与えられた範囲では常に単調増加します。残念ながらこのようなグラフは選択肢中に5つ(a, b, c, f, g)存在している為、更なる絞り込みを行う必要があります。

 そこで次の段階として「f(0) = f(2) = f(4) = f(6) = 0」である事に着目します。これにより、x =0, 2, 4, 6がy = F(x)のグラフにおける停留点(増減が0となるような点)であることが分かります。

 このような条件を満たすグラフは(a)のみでありこれが答えとなります。(b)のグラフも(a)とよく似ていますが、以下のように停留点の位置に注意すれば簡単に区別することが可能です。

(3)のグラフ

 (3)はラクダのこぶのような形をしたグラフです。

 (2)のグラフと同様に(3)のグラフも常にf(x)≧0となるので、y = F(x)のグラフもまた与えられた範囲で単調増加します。更に与えられた範囲でf(x) = 0となるのは x = 0, 3, 6の時のみであるので、y = F(x)はx = 0, 3, 6にのみ停留点を持つ事になります。

 以上の条件を満たすグラフを選択肢から探すと(g)のみが該当し、これが解答となります。(2)が出来ていれば殆ど同じ考え方で答えにたどり着くことが可能です。

(4)のグラフ

 (4)のグラフは0≦x≦0.5及び3.5≦x≦6の範囲ではf(x)≧0, 0.5≦x≦3.5の範囲ではf(x)≦0を満たしています。従って前者の区間では単調増加、後者の区間では単調減少しています。

 この時点で条件に合致するグラフは(j)以外存在しないため、これが解答となります。なお、以下の3つの領域の面積の絶対値が「A<B<C」の関係を満たしていることから、y = F(x)のグラフは「正→負→正」と推移する事が予測されますが、これもグラフ(j)の特徴と合致しています。

コメント

 本問を解く上で大切なことは導関数の符号と関数の増減の関係性であり、この事を念頭に置いて解き進めれば決して難しい内容ではありません。

 反面導関数や定積分などに対して曖昧な理解のまま進めてきた受験生にとっては、いずれの場合も関数の具体的な形が与えられていないなどの理由で、思わぬ苦戦を強いられたかもしれません。

 記号問題とはいえ微積分に関する本質的な理解を問う意欲的な問題であり、もしかしたら今後共通テストなどでもこのようなタイプの問題が出題されるかもしれません。

 

投稿者: matsubushi

趣味で数学など

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