円周の分割と論証 (2002年 東大・文系)


 どちらかと言えば京大で出題されそうなタイプの問題で、面倒な計算は一切必要ありません。とりあえず小さなmやnの値で試してみると確かに命題は成立しそうですが、これを一般化して証明する為には高い論証力が必要です。

解答

 m+n個の弧のうち、両端が赤い点であるものの個数をa、両端の色が異なるものの個数をbとする(すなわち両端が青い点であるものの個数はm+n-a-b個であるが、この事は本問の証明上不要である)。この時円周を分割するm+n個の弧それぞれに対し、端点として登場する赤い点の個数を数え上げると2a+b 個である。

 一方で円周上の各点は必ず2つの弧によって共有されている為、円周上に存在する赤い点の総数は各円弧の両端として数え上げた個数の丁度半分である。すなわちa, b, mに対して以下の関係式が成立する。

(2a+b) ÷ 2 = m ⇔ b = 2(m-a)

 ここでa及びmは整数である事からbは偶数であり、命題は示された。

コメント

 結局は円周上の任意の点が必ず2つの円弧により共有されているという当然の事実と、それぞれの円弧を両端の色によって分類するという発想のみで解決しますが、試験場では色々と試行錯誤が必要であり多くの受験生は苦戦させられた事でしょう。

 これ以外にも本問には幾つか解法が存在しており、例えば青い点の数nを固定してmに関する数学的帰納法を利用する解法などがあります。また、今回は赤い点の総数に着目して解答を作成しましたが、当然青い点の総数に着目しても同様の証明が可能です。

 


 

投稿者: matsubushi

趣味で数学など

コメントを残す

以下に詳細を記入するか、アイコンをクリックしてログインしてください。

WordPress.com ロゴ

WordPress.com アカウントを使ってコメントしています。 ログアウト /  変更 )

Google フォト

Google アカウントを使ってコメントしています。 ログアウト /  変更 )

Twitter 画像

Twitter アカウントを使ってコメントしています。 ログアウト /  変更 )

Facebook の写真

Facebook アカウントを使ってコメントしています。 ログアウト /  変更 )

%s と連携中

%d人のブロガーが「いいね」をつけました。