正接絡みの式変形 (1999年 東北大前期・文系)


 正接にはいわゆる和積公式や積和公式に相当する公式が存在しない為、三角比の相互関係から余弦と正弦の式へ変改したり、加法定理を利用するのが最初の一手となります。

解答


 三角比の相互関係により、余弦と正弦の式に直した後は「加法定理の逆」を繰り返し適用する事により「sin(α+β+γ) = 0」という非常に分かりやすい同値関係を得ることが可能です。後は与えられた角の範囲からα+β+γの値を決定するだけです。

 別解としては加法定理やド・モアブルの定理を利用してcos(α+β+γ)及びsin(α+β+γ)を計算し、そこからtan(α+β+γ)をtanα、tanβ、tanγの式で表現する解法が考えられます。

 但しtan(α+β+γ)を利用する解法は計算量がやや多く、α+β+γ = ±90°の場合についての場合分けも生じる為、やはり前述の解法の方が楽と言えるでしょう。

コメント

 今回のような問題は類題経験の有無が解答時間に直結します。特に「加法定理の逆」については式を見た瞬間、即座に変形できるようにしておくと何かと役に立ちます。

投稿者: matsubushi

趣味で数学など

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