玉入れ問題に関する話① (2020年 兵庫医科大)


 複数個の玉を複数個の箱に入れる場合の数に関する問題は、大学入試において定番中の定番と言えます。しかしながら問題の状況設定に応じてその数え上げ方には大きな違いがあり、それに応じて難易度も変化します。

 以降では玉が区別できる場合は4つの玉をそれぞれ玉1~玉4と呼び、箱が区別できる場合は6つの箱をそれぞれ箱1~箱6と呼ぶ事にします。

(a)の解答

 玉1~玉4のそれぞれに着目すると、各々6通りの行き先が存在するので求める確率は「64 = 1296 通り」となります。玉と箱の数が一般化された場合も同様に考えられるため、玉入れ問題の中では最も簡単なパターンと言えます。

(b)の解答

 4(玉の数)を6つ(箱の数)の非負整数の和として表す場合の数に相当します(但し箱は区別されないので、和の順序の身が異なるものは同一とみなす)。このような和として考えられるのは以下通りで、答えは5通りとなります。

「4+0+0+0+0+0」「3+1+0+0+0+0」「2+2+0+0+0+0」「2+1+1+0+0+0」「1+1+1+1+0+0」

 (a)と比べると非常に少なくなります。このタイプの数え上げの難易度は玉と箱の数によって大きく左右される為、一概に論じる事は出来ません(今回は玉の数が少ないため、難易度は低め)。

(c)の解答

 (b)で考えた5パターンについて、玉が区別できるとどのようになるかを考えます。

「4+0+0+0+0+0」: 全ての玉が入っている箱は区別できないのでやはり1通り
「3+1+0+0+0+0」: 1つだけになる玉の選び方により4C1 = 4通り
「2+2+0+0+0+0」: 玉1と一緒になる玉の選び方により3通り (4C2 ÷ 2 も可)
「2+1+1+0+0+0」: 2つ一緒に入る玉の選び方により4C2 = 6通り
「1+1+1+1+0+0」: 箱が区別できないのでやはり1通り

 以上を合わせて答えは15通りとなります。まず両者区別できない状況を考えた上で、改めて玉を区別する二段構えとするのがコツです。

(d)の解答

 4つの区別できない玉(〇)を5つの仕切り(|)で分割する事を考え、仕切りで分割された6つの領域を左から順に箱1~箱6と定めます。例えば以下のような状態では箱2に玉が2つ、箱3と箱5に玉が1つ、残りの箱に玉は入っていない事を表します。

|〇〇|〇||〇|

 従って4つの区別できない玉を6つの区別できる箱に入れる場合の数は、4つの〇と5つの|の並べ方の総数に等しく、その答えは9C4 = 126通りとなります。

 このケースはいわゆる重複組み合わせの問題として扱う事が可能で、そのことに気が付けば(b)や(c)よりも簡単です。

(d)の別解

 (b)で考えた5パターンを起点として考えることも可能です。

「4+0+0+0+0+0」
6つの箱から 4つの玉全部が入る箱を1つ選べばよいので6C1 = 6通り。

「3+1+0+0+0+0」
3つの玉が入る箱を選び、残りから1つの玉が入る箱を選ぶ場合の数に相当するのでその総数は6C1 x 5C1 = 30通り。

「2+2+0+0+0+0」
6つの箱から玉が2つ入る箱を2つ選べばよいので6C2 = 15通り。

「2+1+1+0+0+0」
6つの箱から2つの玉が入る箱を1つ選び、残りから玉が1つ入る箱を2つ選べばよいのでその総数は6C1 x 5C2 = 60通り。

「1+1+1+1+0+0」
6つの箱から1つの玉が入る箱を4つ選べばよいので6C4 = 15通り (玉が入らない箱を2つ選び6C2 = 15通りとしても良い)。

 以上を足し合わせてもやはり答えは126通りとなります。

 両者を比べるとやはり重複組み合わせを利用した最初解法の方が簡単かつ計算ミスも少ないです。ただし、こちらの解答を選択すると以下の通り(e)についても同時に解けるので悪い事ばかりではありません。

(e)の解答

 (d)の別解における「1+1+1+1+0+0」の場合に相当するので15通り

コメント

 (c)についてはやや難しいですが確率の問題としては標準レベルであり、この手の玉入れ問題を理解する上では格好の題材と言えます。本問の難易度が標準的なのはひとえに玉の数が具体的かつ少数であることに起因しています。

 次の記事では玉の数を一般化した問題について紹介する予定です。

 

 

投稿者: matsubushi

趣味で数学など

コメントを残す

以下に詳細を記入するか、アイコンをクリックしてログインしてください。

WordPress.com ロゴ

WordPress.com アカウントを使ってコメントしています。 ログアウト /  変更 )

Google フォト

Google アカウントを使ってコメントしています。 ログアウト /  変更 )

Twitter 画像

Twitter アカウントを使ってコメントしています。 ログアウト /  変更 )

Facebook の写真

Facebook アカウントを使ってコメントしています。 ログアウト /  変更 )

%s と連携中

%d人のブロガーが「いいね」をつけました。