点いたり消えたり (1996年 JMO予選 第11問)

 久しぶりの更新は、やや古めのJMOからの出題となります。

解答 

 例えば最初の状態から操作P1を行うと1996個の電球全てが点灯します。そしてこの状態から操作P2を行えば偶数番目の電球は全て消灯し、奇数番目の電球は全て点灯したままとなります。この程度であれば全体像の把握は然程難しくありませんが、以降P3、P4…と繰り返すことにより各電球の点灯状況は一気に複雑になります。

 そこで各操作後の状態遷移について考える事を諦め、各番号に対応する電球に着目して最後にONとなる為の条件を考えてみました。これにより本問は自然数の約数の個数に関する整数問題へと帰着され、見通しが一気に良くなります。

 ちなみに「ある自然数が正の約数を奇数個持つこと」と「ある自然数が平方数であること」の同値性は、本問に限らず他年度のJMO/JJMO予選や大学入試でも頻繁に問われる内容であり、是非覚えておくべきでしょう。

コメント

 古い年度からの出題である為、最近の問題と単純に比較する事は難しいですがJMO予選の11問目としてはかなり解き易い部類に入ると思います。

 それでも最初のアプローチを間違えると泥沼に嵌る事は間違いなく、また約数に関する性質など学ぶべき点も多い一問であると言えます。


 

投稿者: matsubushi

趣味で数学など

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