1998年はゾロ目の年 (1998年 JMO予選 第8問)

　　ゾロ目数と出題年の西暦を題材としたいかにもJMOらしい出題です。1998の倍数となる条件をいきなり扱うの大変なので、ひとまず必要条件を考える事が最初の一歩となります。

解答

　「1998 = 2・3³・37」の素因数分解を考える事で、nが1998の倍数となる為の必要条件として「偶数かつ9の倍数」が与えられます。これによりnの各桁の数が0以外の偶数であることが分かり、更に桁数に関する条件についても絞り込むことが可能です。この際、各桁の数が6かそれ以外かで状況が変わる事に気づくかがポイントとなります。

　後は候補を羅列して1998の倍数か否かを判定するだけですが、666666や222222222などに関しては実際に1998で割らずとも、27の倍数とならない事から1998の倍数でない事は判断できます。

コメント

　本問は1998が111(=3 x 37)の倍数である事が背景となっており、出題年の西暦が持つ特性を生かした内容といえます。必要条件による絞り込みに気が付くかが一つの鍵となる本問ですが、JMOの第8問目と考えると比較的解き易い部類と言えるでしょう。