問われる読解力 (2022年 JMO予選 第5問)

 
 昨日行われたJMO予選からのピックアップです。本問はJMO予選の前半に位置していますが、題意の読み取りが難しいものとなっています。

 鍵となるのは式中に直接登場しない「正の整数N」の存在であり、「Nより大きい整数d」という条件をどのように読み変えてゆくかが鍵となります。

解答


 任意の正の整数Nに対してd≧Nが成り立つということは、すなわちdはいくらでも大きく出来る事を意味しています。よって(4m-n2)/dのように分母d、分子に定数を含むような式が出現した場合、分子が0とならない限りdを大きくすることでその絶対値は1より小さくなってしまいます。

 この事に気が付いてmとnの満たすべき関係式が分かってしまえば、以降の数え上げは容易です。解答では各m及びnに対するd及びkの存在を確認していますが、JMO予選は解答のみである為、この辺はざっくりでも良いでしょう。

コメント

 題意が読み取りづらく、前半部分における山場と言える問題です。但し今年は去年と比べて難易度がやや低めとなっているようで、本問が合否を分ける一問となっている気がします。

投稿者: matsubushi

趣味で数学など

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