円の中の一軒家 (2022年 JJMO予選 第3問)


 五角形ABCDEは長方形と二等辺三角形を組み合わせた形となっており、あたかも円のなかに三角屋根の家が配置されたような趣です。本問における最終目的は五角形の外接円Γの直径を求める事ですが、まずは直径にあたる部分が何であるかを理解する所から始まります。

解答


 円に長方形が内接する場合、その対角線は外接円の直径であり対角線の交点は外接円の中心と一致します。一方で円に二等辺三角形が内接する場合、頂角から底辺に降ろした垂線は底辺を二等分するだけでは無く、外接円の中心を通ります。

 以上の事に気が付けばあと一息であり、相似や三平方の定理を駆使する事で解答に辿り着くことが出来ます。

コメント

 図が与えられている為状況を把握する事は容易ですが、円に内接する長方形や二等辺三角形の性質を理解していないと補助線をうまく引くことが出来ず、思わぬ苦戦を強いられたかもしれません。

 3問目という事でJJMOの予選問題の中では比較的解き易い部類とは思われますが、個人的にはJMOの第2問よりは難しいと感じました。

投稿者: matsubushi

趣味で数学など

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