数列と相加平均 (1989年 京大理系 第2問)

\(n\)個 \((n\geq3)\) の実数 \(a_1,a_2,…,a_n\)があり、各 \(a_i\) は他の\(n-1\) 個の相加平均より大きくないという。このような\(a_1,a_2,…,a_n\) の組を全て求めよ。


 数列とその相加平均に関する興味深い出題です。京大入試らしく数列に関する条件は抽象的であり、まずは与えられた条件を不等式として表現する事から始める必要が有ります

解答

\(S=\displaystyle\sum_{i=1}^n a_i\) と置くと \(a_i\) 以外の \(n-1\) 個の相加平均は \(\displaystyle\frac{S-a_i}{n-1}\) で与えられる。従って \(i=1,2,…,n\)に対して以下の不等式\((1)\)が成立する。

\(a_i\leq\displaystyle\frac{S-a_i}{n-1}~~\Leftrightarrow~~na_i\leq S\tag{1}\)

 ここで、ある \(i~(1\leq i\leq n)\) に対して不等式\((1)\)の等号が成立しない場合を仮定すると、不等式の両辺を \(i=1,2,…,n\) について順々足し上げる事で以下の不等式\((2)\)を得ることが出来る。

\(\displaystyle\sum_{i=1}^n na_i<\displaystyle\sum_{i=1}^n S\tag{2}\)

 ところが不等式\((2)\)の両辺は式計算によりいずれも\(nS\)となるので、明らかに成立しない。従って先の仮定は誤りであり任意の \(i~(1\leq i\leq n)\) に対して以下の等式\((3)\)が成り立つ。

\(na_i=S~~\Leftrightarrow~~a_i=\displaystyle\frac{S}{n}\tag{3}\)

 ここで \(\displaystyle\frac{S}{n}\) は \(a_1,a_2,…,a_n\) の相加平均であり、\(i\) に依存しない定数である。従って等式\((3)\)が任意の\(i=1,2,…,n\)に対して成り立つ為には \(a_1,a_2,…,a_n\) が互いに等しい実数値を取る必要が有る。

 逆に\(a_1,a_2,…,a_n\) が互いに等しい実数値を取るならば問題文の条件(不等式\((1)\))は成立する為、求めるべき答えは以下の通り。

\((a_1,a_2,…,a_n)=(k,k,…,k)\)    (\(k\): 任意の実数値)

コメント

 不等式(1)の意味するところは「任意の\(a_i\)は\(a_1,a_2,…a_n\)の相加平均以下」であり、\(n=3,4\)あたりで実験してみると定数数列の場合を除いてどうしても相加平均を上回る項が出現します。

 そこで条件を満たす数列は定数数列のみであるという仮説を立て、それを立証する形で作成したものが上記の解答となります。与えられた条件から自力で仮説を立てて検証する論証力が問われており、計算量や記述量こそ抑え気味ですが決して簡単ではありません。

 ちなみに同年の文系では\(n=5\)の場合について出題されていますが、考え方は殆ど同じであり難易度はあまり変わりません。

投稿者: matsubushi

趣味で数学など

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