matsubushi

連分数と黄金比 (2018年大分大・医)

　一見すると二項間漸化式の一般項と極限を求めるだけのありふれた問題に見えますが、与えられた漸化式から式変形により一般項を求める事は厳しいように思われます。　このような場合小さい \(n\)に対して\(a_n\)の値を具続きを読む “連分数と黄金比 (2018年大分大・医)”

\(n\)個 \((n\geq3)\) の実数 \(a_1,a_2,…,a_n\)があり、各 \(a_i\) は他の\(n-1\) 個の相加平均より大きくないという。このような\(a_1,a_2,&#8230続きを読む “数列と相加平均 (1989年京大理系第2問)”

　\(x,y,z\)が正の実数を動くとき \(\displaystyle\frac{x^3y^2z}{x^6+y^6+z^6}\) の最大値を求めよ。　一般的な多変数関数の最大最小を議論する為には大学で学ぶ解析学の知識続きを読む “有名公式に頼るべし② (1998年 JMO予選第10問)”

以下の性質を持つ自然数 \(a\) が無限個存在することを示せ。 (性質): \(z=n^4+a\) はどの自然数 \(n\) に対しても素数ではない。　任意の \(n\) に対してある \(n\) の整式が合成数(=続きを読む “四乗数と素数 (1969年第11回IMO ルーマニア大会第1問)”

　任意の自然数 \(n\) について, \(\displaystyle\frac{21n+4}{14n+3}\) は既約分数である事を証明せよ　60年以上の歴史を持つIMOの第1回大会は東欧ルーマニアにて開催されました続きを読む “歴史の幕開け (1959年第1回 IMO 第1問)”

　平方数全ての逆数和が収束する事は古くより知られていましたが、具体的にどのような値に収束するのか疑問は1644年に提起されて以降、長らく未解決でした。　この疑問は提起から凡そ100年後の1735年にレオンハルト・オイラ続きを読む “バーゼル問題の初等的解法 (2020年慶応大・医)”

　数列anに関する条件は極めて抽象的であり、一見すると命題を示すことは困難であるように思われます。本問を解く上では与えられた唯一の条件「anの各項は全て正」を使う事となりますが、どのように利用するかがカギとなります。　続きを読む “初手が全て (2003年京大理系後期第4問)”

　穴の開いたルービックキューブのような立体に数字を書き込むタイプの問題で、厳密には塗り絵ではありませんがタイプとしては同じです。　ルールに従って数字を書き込むにあたっては6面全ての状況を一度に把握した所ですが、この立体続きを読む “3次元塗り絵 (2022年JJMO予選第8問)”

　タイトル通り3つの直角三角形を組み合わせて出来る凹五角形を題材としています。直角二等辺三角形の性質を最大限に利用すると共に、凹五角形の面積に関する情報をどのように利用するかが鍵となります。解答　上記解答では△ABD続きを読む “3つの直角二等辺三角形 (2022年 JJMO予選第6問)”

　　第4問と同様に自力で作図するタイプの平面図形問題ですが、作図に関しては第4問よりも容易です。但し作図以降の流れは決して容易とは言えず、与えられた角度や面積に関する条件を無駄なく使い切るセンスが必要です。解答コメン続きを読む “相似と面積比 (2022年JJMO予選第11問)”